Một số bài ôn thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9

Câu 1. (Đề thi HSG 9 huyện Tam Dương 2019-2020)

Cho O là trung điểm của đoạn thẳng AB . Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB vẽ hai tia , Ax By cùng vuông góc AB . Trên tia Ax lấy điểm C (khác A ), qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt tia By tại D .

a) Chứng minh 2 4 . AB AC BD 

b) Gọi M là hình chiếu vuông góc của O trênCD . Chứng minh rằng M thuộc đường tròn đường kính AB .

c) Kẻ đường cao MH của tam giácMAB . Chứng minh rằng , MH , AD BC đồng quy.

Lời giải

a) Chứng minh OAC DBO   : (g.g)

. . OA AC OAOB ACBD DB OB    

. . 2 2 AB AB ACBD  

2 4 .B AB AC D   (đpcm)

b) Theo câu a ta có: OAC DBO   : (g.g)

OC AC OD OB   mà OA OB  OC AC OD OA  

+) Chứng minh: OAC DOC   ∽ (c.g.c) · · ACO OCM  

+) Chứng minh: OAC OMC   (ch.gn) AO MO    M nằm trên đường tròn   , O OA hay đường tròn đường kính AB .

c) Gọi K là giao của MH với BC , I là giao của BM với Ax

Ta có ΔOAC=ΔOMC ; OA OM CA CM    OC là trung trực của AM

OC AM   .

Mặc khác OA OM OB   AMB  vuông tại M

// OC BM (vì cùng vuông góc AM ) hay // OC BI

+) Xét ABI  có OM đi qua trung điểm AB , song song BI suy ra OM đi qua trung điểm AI IC AC  

x

y

K

O A B

C

D

M

H

I

DeThi.edu.vn

+) // MH AI theo định lý Ta-lét ta có: MK BK KH IC BC AC  

Mà IC AC  MK HK   BC  đi qua trung điểm MH

Tương tự AD cũng đi qua trung điểm MH . Suy ra , , AD BC MH đồng quy.

Câu 2: ĐỀ CHỌN HSG LỚP 9 BẮC GIANG NĂM 2016 - 2017 Cho nửa đường tròn   ; O R đường kính AB . Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa nửa

đường tròn vẽ tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn, trên Ax lấy M sao AM R  . Từ M vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn, từ C vẽ CH vuông góc với AB , CE vuông góc với AM . Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt BC tại N . Đường thẳng MO cắt CE , CA , CH lần lượt tại , , Q K P .

a) Chứng minh MNCO là hình thang cân. b) MB cắt CH tại I . Chứng minh KI song song với AB . c) Gọi G và F lần lượt là trung điểm của AH và AE . Chứng minh PG vuông góc với

QF .

Lời giải

a) Ta có ACB  nội tiếp đường tròn (vì...) mà AB là đường kính nên ACB  vuông tại C AC BN   .

Ta có MA MC  (.....), OA OC  (....) nên MO là trung trực của AC .

// MO AC MO NB    · · MOA NBO  

T G

F

Q

P

E

O

K I

H

N

C

M

B A

DeThi.edu.vn

Ta có OA MA  (....) · · 0 90 MAO NOB    ; xét MAO  và NOB  có

· · · · 0 90 ; ; MAO NOB MOA NBO OA OB R MAO NOB MO NB         

Ta có // ; MO NB MO NB MNBO   là hình bình hành.Ta có MAO  = NOB  (cm trên) nên ta có NO MA  , mà MA MC  (...) nên NO MC  vậy MNBO là hình thang cân.

b) Xét CHB  và MAO  có · · · · 0 90 ; MAO NOB CBH MOA    (cm trên)

CH HB HB CHB MAO MA AO R      :

Ta có CH AB  (gt) ; MA AB  (...) // // 2 IH HB HB CH MA IH MA MA AB R     

Nên ta có 2 2 2 2 2 CH HB HB IH IH CH IH IC IH MA R R MA MA            .

Chi ra KI là đường trung bình của tam giác ACH // KI AB 

c) Chưng minh FQIO là hình bình hành // QF IO 

-Chứng minh O là trục tâm tam giác GIP .

PG OI PG QF    

Câu 3: (Đề thi HSG 9 huyện Trực Ninh 2016-2017) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi C là một điểm nằm trên nửa đường tròn (O) (C khác A, C khác B). Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên AB, D là điểm đối xứng với A qua C, I là trung điểm của CH, J là trung điểm của DH. a) Chứng minh · · CIJ CBH  b) Chứng minh CJH đồng dạng với HIB c) Gọi E là giao điểm của HD và BI. Chứng minh HE.HD = HC2 d) Xác định vị trí của điểm C trên nửa đường tròn (O) để AH + CH đạt giá trị lớn nhất.

Lời giải

a) + Vì ABC  nội tiếp đường tròn đường kính AB nên AC BC  Suy ra BC CD  (1)

H O

E I

J

D

C

B A

DeThi.edu.vn