Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Thanh Hóa Lớp 9 THCS môn Toán - Năm học 2021-2022

1

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THANH HÓA LỚP 9_THCS NĂM HỌC 2021-2022 MÔN TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút

Ngày thi 26/12/2021 Thời gian làm bài :150 phút Tên : Trương Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi.Điện thoại : 0708127776

Câu I: ( 4,0 điểm)

1.Rút gọn biểu thức

3 2 . 2 2 2 1 x x x P

xy y x x xy y x         với 0, , 1 4 0 , x y x y y    

2.Cho a, b, c là các số thực dương thỏa : 2 2 2 2 1 a b c abc     Tính giá trị biểu thức:          2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2020 P a b c b a c c b a abc           

Câu II: ( 4,0 điểm)

1.Giải phương trình 2 5 3 6 6 3 (2 ) (7 19) 2 x x x x x       

2.Giải hệ phương trình

2 2

2 2

2 4

2 6

1 2 12

x x y y

x y x x y y

           

Câu III: ( 4,0 điểm)

1.Tìm a,b nguyên dương thỏa 3 3 3 4 4 4 4 4 4 b b b b b a        

2.Cho ba số tự nhiên a, b, c thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: a – b là số nguyên tố và 3c2 = ab + bc + ca. Chứng minh rằng 8c + 1 là số chính phương. Câu IV: ( 6,0 điểm) Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB và C thay đổi trên đó (C khác A,B).Trên cùng 1 nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến Ax ,By.Tiếp tuyến tại C của đường tròn cắt Ax,By tại D,E.Gọi I là giao điểm AE,DB và CI cắt AB tại H. 1.Chứng minh CH//BE và I là trung điểm CH 2.Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc AB tại K.Chứng minh KA.KB=CH.CO 3.Qua C vẽ đường thẳng song song AB cắt By tại F.Gọi M là giao điểm AF và BC.Xác định vị trí C trên nửa đường tròn (O;R) sao cho tam giác ABM có diện tích lớn nhất.Tính diện tích lớn nhất đó theo R. Câu V: ( 2,0 điểm) Cho a,b là các số thực dương .Chứng minh

2 3 1 1 1 (1 )(1 ) a b ab ab a b ab ab a b a b ab            

Ta có

3c2 = c(a + b) + ab => 4c2 = c2 + ca + cb + ab = (a + c)(b + c) (1)

Vì a – b là số nguyên tố => a > b và a + c > b + c

=> (b + c)2 < (a + c)(b + c) (2)

DeThi.edu.vn

2

Từ (1) và (2) => b + c < 2c => b < c (3)

Ta lại có (a + c) – (b + c) = a – b là số nguyên tố

=> Hoặc a – b  ƯC(a + c, b + c) hoặc (a + c, b + c) = 1.

* Nếu a – b = p  ƯC(a + c, b + c) => a + c = p.k và b + c = p.h (k, h  N)

=> pk – ph = a – b = p => k – h = 1 (vì p 0) => k = h + 1

Khi đó (1) trở thành (2c)2 = p2kh = p2k(k + 1) => k(k + 1) là số chính phương.

Mà k và k + 1 là hai số tự nhiên liên tiếp

=> k = 0 => b + c = pk = 0 (mâu thuẫn với (3))

* Nếu (a + c, b + c) = 1

Từ (1) => (2c)2 = (a + c)(b + c).

Đặt a + c = m2 và b + c = n2 (m, n  N)

=> m2 – n2 = (m – n)(m + n) = a – b là số nguyên tố.

Mà m – n < m + n => m – n = 1 và m + n = a – b

Suy ra (2c)2 = (b + c)(c + a) = (mn)2 = (m – 1)2m2

=> 2c = m(m – 1)

Khi đó 8c + 1 = 4m(m – 1) + 1 = (2m – 1)2 là số chính phương. Vậy 8c + 1 là số chính phương. Câu 1. (3 điểm): Cho a, b, c là các số thực dương thỏa : 2 2 2 2 1 a b c abc     Tính giá trị biểu thức:          2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2020 P a b c b a c c b a abc           

Lời giải Theo bài ra: 2 2 2 2 1 a b c abc     Suy ra: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ; 2 1 ; 2 1 a abc b c b abc c a c abc b a          Ta được :          2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2020 P a b c b a c c b a abc           

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = a 1 1 1 2020 c b b c b c a a c c a b a b abc             

2 2 2 2 2 2 2 2 2 = a 2 2 2 2020 a abc b c b b abc a c c c abc a b abc          

      2 2 2 = a 2020 a bc b b ac c c ab abc       

a(a+bc)+b(b+ac) + c(c+ab) 2020 (a, b, c >0) abc   

2 2 2 2 2020 2021 a b c abc      

DeThi.edu.vn