Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 THCS - Năm học 2011-2012

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS

Năm học: 2011-2012

ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn thi: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 03/04/2012

Câu 1: (2,0 điểm)

Thực hiện tính:

4

3 4

2 2 3 .1 2 1

8 6 ) 12 ( 1 2 . 2 2 3

   



     

x

x x

x x x

Câu 2: (4,0 điểm)

a) Chứng minh: 45 39 21 21 39   b) Tìm a, b thuộc N* sao cho:

7 2 2

1 1  b a Câu 3: (6,0 điểm)

a) Giải phương trình: ) ( 2 1 1 2 z y x z y x       

b) Tìm k để phương trình: x2 - (2 + k)x + 3k = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 sao cho x1; x2 là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 10. c) Cho biểu thức: A x y y x     3 3 , với 2012 ;0 ,0     y x y x . Tìm giá trị nhỏ nhất của A. Câu 4: (5,0 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) nội tiếp (O;R). Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại I. a) Chứng minh I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF. b) Giả sử góc BAC=600. Tính diện tích tứ giác AEOF theo R. Câu 5: (3,0 điểm)

Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác đều ABC. Một tiếp tuyến của đường tròn (O) cắt các cạnh AB và AC của tam giác ABC theo thứ tự ở P và Q. Chứng minh rằng:

a) PQ2+AP.AQ=AP2+AQ2

b) 1  CQ

AQ BP AP

---------------------- Hết ------------------------

DeThi.edu.vn

GỢI Ý GIẢI: Câu 1: (2đ) (ĐK: ) 1 ;0   x x

1 1

2 1

1

2 )1 2 (

)1 2 ( 1

)1 (

) 2 ( )1 2 ( )1 2 (

)1 2 ( )1 2 ( 1

8 12 6 )1 2 )( 2 2 3 (

2 2 3 .1 2 1

8 6 ) 12 ( 1 2 . 2 2 3

4 2

4 2

3 3 4 2 2

4 2 2

3 4 2

4

3 4

 

   

   

  



    

   



      

   



     

x

x

x

x

x

x x

x

x

x x

x x x x

x

x x

x x x

Câu 2: (4đ)

a) Có: 9 9. 3. 13 9. 3. 7 39 21 19 21 37 39 21 39     Do: 5 )1 21 ( )1 21 ( 39       5 )1 ( 39 )1 ( 3921       Nên:  5 )1 ( 39 )1 21 ( 39 21 21 39 21 39        Mà: UCLN(5;9)=1 và 9.5 = 45 Suy ra: 45 39 21 21 39  

b) Giả sử: K=2b; (ĐK: a;b;k )1( 4 7 ; 2 7 , *,    b k a N

Ta có: 7 2 1 1  k a

Nếu: ) 2 ( 7 2 2 1 1        a k a k a k a

Từ (1) và (2) cho ta:   7;6;5;4  a • Với a = 4, tính ra: k = 28 b = 14 (nhận) • Với a = 5, 6, 7: không tìm được b thỏa mãn đề bài. (Chú ý: Khi ka; ta có k = 4; a = 28 b = 2 (nhận)

Vậy: 

 





14

4 b a

hoặc 

 





2

28 b a

Câu 3: (6đ)

a) ( 2đ) (ĐK: 0 ;1 ;2    z y x )

1 ;2 ;3 :

0 )1 ( )1 1 ( )1 2 (

0 )1 2 ( )1 1 2 1 ( )1 2 2 2 ( ) ( 2 1 1 2

2 2 2

  

       

                    

z y x Suyra

z y x

z z y y x x z y x z y x

b) ( 2đ) ĐK:

1 97

1 97 1 97

0

2

4 3 2 4 3 2

100 3.2 ) 2 (

0 3

0 2

0 12 ) 2 (

10

0

0

0

2

2

2 2 2 2 1

  

  

 



   



 

    



  

 



  



 

  



  

 



 





 

k

hoac k

k

k

hoack k

k k

k

k

k k

x x

P

S

DeThi.edu.vn

b) ( 2đ)

A x y y x     3 3 , với 2012 ;0 ,0     y x y x .

3 2012 ) 3 3 ( ) 3 3 (

3 2012 3 3 3 3

3 2012 3 3 3 3

      

      

      

x y y x

y x y x y x

y x x y y x

Do: 3 2012 ;0 ;0    A y x và: x + y = 2012

Suy ra: Amin=2012  3 x = 0; y = 2012 hoặc: x = 2012 ; y = 0

Câu 4: (5đ)

DeThi.edu.vn