Bộ 5 đề tham khảo thi học sinh giỏi môn Toán 9

1

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI - MÔN TOÁN 9

(Thời gian làm bài:150 phút)

Câu 1 (3 điểm): Tính giá trị các biểu thức sau:

a) A 1 7 1 7

2 4 7 2 4 7

       

;

b) B  

2014 3 2 3x x 1    với x   3 26 15 3 2 3

3

   .

Câu 2 (4 điểm):

Cho biểu thức P =

2 x x 2x x 2(x 1) x x 1 x x 1         a) Rút gọn biểu thức P;

b) Tìm giá trị của x để biểu thức Q = 2 x

P nhận giá trị nguyên.

Câu 3 (3 điểm):

Cho đường thẳng (d ) có phương trình: 3(m - 1)x +( m - 3)y = 3 a) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi giá trị của m;

b) Tìm m để đường thẳng (d) cách gốc tọa độ một khoảng lớn nhất. Câu 4 (3,5 điểm):

a) Giải phương trình sau:

x 3 x 2 x 1 x 2 x 1 2        ;

b) Giải hệ phương trình sau:

2 2

2 2 x x xy 2y 2y 0

x y 1

          Câu 5 ( 6,5 điểm):

Cho đường tròn (O;R) và một điểm A ở ngoài đường tròn. Từ một điểm M di động trên đường thẳng d  OA tại A, vẽ các tiếp tuyến ME, MF với đường tròn (O) (E, F là các tiếp điểm). Đường thẳng chứa đường kính của đường tròn song song với EF cắt ME, MF lần lượt tại C và D. Dây EF cắt OM tại H, cắt OA tại B.

a) Chứng minh rằng OA.OB không đổi. b) Chứng minh EF luôn đi qua một điểm cố định khi M di chuyển trên đường thẳng d.

c) Tìm vị trí của M trên đường thẳng d để diện tích của HBO lớn nhất. d) Lấy điểm I thuộc cung nhỏ EF, vẽ tiếp tuyến qua I của (O) cắt ME, MF lần

lượt tại P và Q. Chứng minh rằng PC.DQ

2 CD

4  .

---------------- HẾT ----------------

DeThi.edu.vn

2

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI - MÔN TOÁN 9

(Thời gian làm bài:150 phút)

Câu 1 (3 điểm): Tính giá trị các biểu thức sau:

a) A 6 2 2 3 4 12     ;

b) B 4 10 2 5 4 10 2 5 5        .

Câu 2 (3 điểm): Cho biểu thức P = 2x 2 x x 1 x x 1 x x x x x        a) Rút gọn biểu thức P; b) So sánh P với 5;

c) Tìm giá trị của x để 8 Q P  nhận giá trị nguyên.

Câu 3 (3 điểm):

Cho đường thẳng (d): y = mx m 2   a) Chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định; b) Tìm m đường thẳng (d) cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 3. Câu 4 (3,0 điểm):

a) Giải phương trình sau:

x 9 5 2x 4     ; b) Giải hệ phương trình sau:

2

2 2 6x 3xy x 1 y

x y 1

       

Câu 5 ( 6,5 điểm):

Cho đường tròn (O; R), đường kính AB cố định, EF là đường kính di động. Kẻ đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O) tại B. Nối AE, AF cắt đường thẳng d lần lượt tại M và N.

a) Chứng minh rằng AE.AM = AF.AN. b) Kẻ AD vuông góc với EF cắt MN tại I. Chứng minh rằng I là trung điểm của MN.

c) Gọi H là trực tâm của tam giác MFN. Chứng minh rằng khi đường kính EF di động thì H luôn thuộc một đường tròn cố định. Câu 6 ( 1,5 điểm):

Cho 3 3 2 2 x y 3(x y ) 4(x y) 4 0        với xy > 0.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 1 M x y  

---------------- HẾT ----------------

DeThi.edu.vn

3

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI - MÔN TOÁN 9

(Thời gian làm bài:150 phút)

Câu 1(3,5 điểm): Cho biểu thức:

x x( x 2) x A . 2 x 2 x x 8 x 2

                  a) Rút gọn biểu thức A;

b) Tính giá trị của biểu thức A tại 3 3 x 5 2 13 5 2 13     ;

c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x 4 B A. 2x 2    .

Câu 2 (4.5 điểm):Giải phương trình và hệ phương trình sau:

a)   2 3 2 x 3x 2 3 x 8     ;

b)

2 2

2 x 2y 3xy x 2y 0

x 1 y 0

      

   Câu 3 (3,0 điểm):Cho ba đường thẳng: ( 1d ): y x 1  ;   2 d : y x 3 ;

  3 d :   2 2 y m 1 x m 7    (với m 1 )

a) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì   3 d luôn đi qua điểm cố định;

b) Tìm giá trị của m để ba đường thẳng trên đồng quy; c) Gọi giao của đường thẳng   2 d với trục Ox, Oy lần lượt là A,B. Hãy viết

phương trình đường thẳng (d) là đường trung trực của đoạn thẳng AB. Câu 4 ( 7.0 điểm):

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AB), M là một điểm thuộc nửa đường tròn (M khác A và B). Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại M cắt Ax, By lần lượt tại E, F. …