Đề thi giao lưu học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 THCS - Năm học 2018-2019

1

Môn: TOÁN - Ngày thi /3/2019

Câu 1 (4đ) 1. Cho biểu thức 2 x 16 x 4 2 x 1 M

x 6 x 8 2 x x 4           với 0; 4; 16    x x x

Rút gọn biểu thức M Và tìm x để M=6 2. Gọi a là nghiệm dương của phương trình 2 .x2 + x – 1 = 0.

Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức

4 2 2a 3 Q

2(2a 2a 3) 2a

 

  

Câu 2 (4điểm) a) Giải phương trình: 4 3 2 2 2 2 2 2 10 2        x x x x x x

b) Giải hệ phương trình:

1 4 2(1 ) 3 1 1 4 2(1 ) 1 1

x x y

y x y

               

Câu 3 (4điểm) 1 Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 2 2 2 2 4 3 2 0       x y xy x y , 2. Xác định tất cả các cặp số (a; b), với a, b là số nguyên dương, sao cho:

2 a b a b   chia hết cho

2 7 ab b  . Câu 4 (6điểm) Cho đường tròn tâm O, bán kính R có đường kính AB cố định. C là một điểm thay đổi trên đường tròn (C khác A và B). Gọi H là hình chiếu của C trên AB, I là trung điểm của AC. Đường thẳng OI cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O; R) tại M, đường thẳng MB cắt đường thẳng CH tại K. a) Chứng minh MC là tiếp tuyến của của (O; R) b) Chứng minh IK song song với AB c) Xác định vị trí của điểm C để chu vi tam giác ABC đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó. Câu 5(2điểm) Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn 3    a b c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 3    Q a b c

............................... Hết ...................................

DeThi.edu.vn

2

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH THANH HÓA

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI GIAO LƯU HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS

NĂM HỌC 2018-2019 Môn: TOÁN - Ngày thi /3/2019

II. Hướng dẫn chi tiết Câu Đáp án Điểm

Cho biểu thức 2 x 16 x 4 2 x 1 M

x 6 x 8 2 x x 4          

với 0; 4; 16    x x x

+ Rút gọn biểu thức M

- Ta có 2 x 16 x 4 2 x 1 M

( x 2)( x 4) x 2 x 4           0.25đ

2 x 16 ( x 4)( x 4) (2 x 1)( x 2) ( x 2)( x 4)        

  0.25đ

x x 2 ( x 2)( x 4)   

  0.25đ

( x 2)( x 1) ( x 2)( x 4)   

  0.25đ

x 1 x 4  

 0.25đ

+ Tìm x để M = 6

Ta có: x 1 M 6 6 x 4      0.25đ

x 1 6( x 4)    0.25đ

x 5   0.25đ

Câu 1(2đ)

x 25  

Câu 2 Giải phương trình, a) GPT: 4 3 2 2 2 2 2 2 10 2        x x x x x x (2,0 điểm) - Điều kiện  x R (hoặc 2 2 10 0    x x ) 0.25đ

- Phương trình 4 3 2 2 2 ( 2 ) ( 2 1) 2 10 3           x x x x x x x 0.25đ

2 2 2 2 ( ) ( 1) ( 1) 9 3         x x x x 0.25đ

Do

2 2

2 2 2 2 2

2

( ) 0

: ( 1) 0 ( ) ( 1) ( 1) 9 3

( 1) 9 3

                    

x x

x R x x x x x

x

0. 5đ

Dấu bằng xẩy ra

2 2

2

2

( ) 0

( 1) 0 1

( 1) 9 3

             

x x

x x

x

(tmđk) 0. 5đ

Vậy phương trình ban đầu có nghiệm x = -1. 0.25đ 3a) GPT: 2 2 2 2 4 3 2 0       x y xy x y , trong đó x, y là các số nguyên dương (2,0 điểm)

Câu 2

Viết lại pt dưới dạng: 2 2 2 ( 2) 2 3 2 0 (*)       x x y y y 0.25đ

DeThi.edu.vn

3

Coi (*) là pt bậc hai ẩn x. Pt (*) có nghiệm nên

' 2 2 2 0 ( 2) (2 3 2) 0 6 0 3 2              y y y y y y 0.25đ

Do y là số nguyên dương nên   1; 2  y 0.25đ

+) TH1: 2 1 1 2 3 0 3        

x y x x x

Cặp số x = 3; y = 1 thỏa mãn pt ban đầu

0.25đ

+) TH2: 2 2 0 0 ( : 0)       y x x ktm x 0.25đ - Vậy nghiệm của pt: ( ; ) (3, 1)  x y 0.25đ

2b) Giải hệ :

1 4 2(1 ) 3 1 1 4 2(1 ) 1 1

x x y

y x y

               

(2,0 điểm)

- Điều kiện: 1 1 ; ; 1 0 2 2 x y x y    

Từ hệ phương trình suy ra 1 1 x ;y 2 2  

0.25đ

- Hệ phương trình

1 3 1 ( ) 1 4 2 1 1 1 ( ) 1 4 2

a x y x

b x y y

       

      

0. 5đ

Cộng vế theo vế của pt (a) và pt (b), ta được: 3 1 2 (1) 4 2 4 2 x y    

Trừ vế theo vế của pt (a) cho pt (b), ta được: 2 3 1 (2) 1 4 2 4 2 x y x y      

0.25đ

Nhân tương ứng hai vế của (1) và (2): 4 9 1 1 4 2 4 2 x y x y      

2 2 4(4 2)(4 2) ( 1)( 4 36 16)

8 9 5( ) 0 ( )( 9 5) 0

x y x y x y

x xy y x y x y x y

        

          

0.25đ

+) TH1:  …