Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 9 - Năm học 2021-2022

TRƯỜNG THCS HỒNG BÀNG KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

Năm học 2021 – 2022

ĐỀ THI MÔN TOÁN LỚP 9 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1. (2,0 điểm)

a) Cho biểu thức:

2 2 A=

1 1 x x x x x x x x       

.

Rút gọn biểu thức 1 2 4 1 B A x    với 1 0 4 x  

b) Cho , , a b c là ba số thực dương thỏa mãn: 1. ab bc ca    Chứng minh rằng:

         2 2 2 2 2 2

2 2 2 1 1 1 1 1 1

2 1 1 1

b c a c b a a b c a b c

            Bài 2. (2,0 điểm)

a) Giải phương trình 2 1 1 2 4. x x x    

b) Cho , , x y z là ba số thực dương thỏa mãn 1 2 y z

x   .

Chứng minh rằng: 3 4 5 4. yz zx xy x y z   

Bài 3. (2,0 điểm)

a) Cho 4 4. P n   Tìm tất cả các số tự nhiên n để P là số nguyên tố.

b) Giải phương trình nghiệm nguyên: 4 2 2 20 0. x x y y      Bài 4. (3,0 điểm) 1. Cho tam giác ABC vuông tại A có AH là đường cao. Gọi M, N lần lượt là giao điểm của ba đường phân giác trong của các tam giác AHB và AHC. Đường thẳng MN cắt AB, AH, AC lần lượt tại I, E, K

a) Chứng minh rằng BM vuông góc với AN.

b) Chứng minh rằng . . . ME NK MI NE 

2. Cho đường tròn (O;r) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC tại D. Vẽ đường kính DE

của đường tròn (O;r); AE cắt BC tại M. Chứng minh rằng . BD CM 

Bài 5. (1,0 điểm) Mỗi điểm trong mặt phẳng được tô bởi một trong hai màu xanh hoặc đỏ. Một tam giác có ba đỉnh được tô cùng một màu gọi là tam giác đơn sắc. Chứng minh rằng trong mặt phẳng

đó tồn tại hai tam giác đơn sắc là hai tam giác vuông đồng dạng với nhau theo tỉ số 1 2022 k  .

----- Hết -----

Họ tên thí sinh:……………….………………...Số báo danh: ………….................................. Cán bộ coi thi 1:……….………...…..................Cán bộ coi thi 2:.....………..……..…….........

ĐỀ CHÍNH THỨC

DeThi.edu.vn

TRƯỜNG THCS HỒNG BÀNG KỲ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

Năm học 2021 – 2022

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM MÔN TOÁN LỚP 9

Bài Đáp án Điểm a) (1,0 điểm)

2 2 ( 1) ( 1) A= = 1 1 1 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x               0,25

( 1) ( 1) 2 x x x x x      0,25

2 1 2 4 1 1 4 4 1 1 (2 1) 1 2 1 B A x x x x x           0,25

Vì 1 0 4 x   nên 0 2 1 2 1 0 x x    

Vậy 1 (1 2 ) 2 B x x   

0,25

b) (1,0 điểm) Ta có: 1. ab bc ca    Khi đó    2 2 1 . b ab bc ca b a b b c        

Tương tự:       2 2 1 ; 1 c a c c b a a b a c        

0,25

Với a, b, c là ba số thực dương, ta có:

            

2 2

2 1 1

1

b c a b b c a c b c a a a b c a b c a a c a b

             

0,25

Tương tự:       2 2 2 2

2 2 1 1 1 1 ( ); ( ) 1 1

a c b a b b a c c c a b b c

         

0,25

1 (2,0 điểm)

Do đó

     

  2 2

VT a b c b a c c a b

ab ac ba bc ca cb ab bc ca VP

     

          

0,25

a) (1,0 điểm)

ĐKXĐ: 1. 2 x  Đặt 2 1 0; 1 0, x a x b      ta có:

2 4 a b x    và 2 2 2 a b x   

0,25

Suy ra 2 2 2( ) ( )(2 2 1) 0 . 2 2 1 a b a b a b a b a b a b              

0,25

2 1 1 2 a b x x x      (TMĐK) 0,25

2 (2,0 điểm)

2 2 1 2 2 1 2 1 1 (1) a b x x      PT(1) vô nghiệm vì:

1 2 2 1 0 2 x x    và 2 1 1. (1) 1 x VT    

Vậy PT đã cho có nghiệm duy nhất 2 x 

0,25

DeThi.edu.vn