Đề thi học sinh giỏi huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2014-2015

1

Câu 1. (2.0 điểm)

a. Rút gọn các biểu thức sau: A = 2( 3 1) 2 3   ;

b. B = 2 2 5 2 2 2 5 2     

b. Tìm ;x y Z  biết:

2 2 4 0 xy xy y x     Câu 2. (2.0 điểm) Giải các phương trình sau :

a. 4 2 2 3 2 0 x x    

b.

2 2 4 5 1 3 2 1 9 x x x x x      Câu 3. (2.0 điểm)

a. Tính giá trị của Q = x y x y   biết 0; 0 y x y    và

2 2 2 x y xy  

b. Tìm giá trị nhỏ nhất của M =

2 2 2 2 2 3 1 x y xy x y     

c. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

2 2 2

2 a b c a b c b c c a a b

       

Câu 4. (3.0 điểm)

Cho ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ đường tròn tâm O đường kính AH,

đường tròn này cắt AB, AC lần lượt tại D và E. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của BH,

CH.

a. Chứng minh MD // NE.

b. Chứng minh trực tâm tam giác AMN là trung điểm đoạn thẳng OH.

c. Tam giác ABC có thêm điều kiện gì nữa để tam giác AMN có diện tích nhỏ

nhất?

Câu 5. (1.0 điểm). Cho một đa giác có chu vi bằng 1. Chứng minh rằng có hình tròn bán

kính R = 1

4 chứa toàn bộ đa giác đó.

Hết./

Họ và tên: ........................................................................Số báo danh....................................................

PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9

NĂM HỌC 2014-2015

MÔN THI: TOÁN Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm 01 trang)

DeThi.edu.vn

2

PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG ĐÁP ÁN THI HSG HUYỆN NĂM HỌC 2014-2015 MÔN THI: TOÁN 9 Câu Ý Nội dung Điểm

a A = 2( 3 1) 2 3   =

2 ( 3 1) 4 2 3 ( 3 1) ( 3 1) ( 3 1)( 3 1) 2         

B2 = 2 ( 2 2 5 2 2 2 5 2 )      = 4 - 2 4 2 5 2   = 4 -2(

5 1 ) = 6 - 2 5 = ( 5 - 1)2. vì B < 0 nên B = 1- 5

0.5

0.5

Câu

1 b 2 2 4 0 xy xy y x      2

2 4 ( 2 1) 4 ( 1) y x y y y x y       . Vì x; y

nguyên mà

(y; y+1) = 1 nên (y+1)2 là ước của 4 y +1 = 2, 0, 1, -1, -2;

suy ra y = 1; -1; 0; -2 -3 từ đó HS tìm x tương ứng

0. 5

0.5

a ĐK: 3 2 0 x   hay

3 2 x  . 4 2 2 3 2 0 x x      2 ( 3 2 1) 0 x    

3 2 1 1 x x   thỏa mẫn ĐK vậy nghiệm phương trình là x =

1

0.5

0.5

Câu

2

b ĐK 2 1 4 5 1 0 (4 1)( 1) 0 4 x x x x x         hoặc 1 x 

2 2 4 5 1 2 1 9 3 x x x x x      Đặt

2 2 4 5 1 2 1 x x m va x x n    

Ta có m – n = m2 – n2 (m - n)(m + n – 1) = 0 nên m= n hoặc

m = 1- n từ đó HS tìm được x rồi đối chiếu ĐK để kết luận

0,25

0,25

0.25

0.25

a Ta có:

2 2 2 x y xy   x2 – y2 – y2 – xy = 0 (x + y)(x – 2y)

= 0 suy ra: x = 2y

ta có Q = 1/3

0.25

0.25

Câu

3

b M =

2 2 2 2 2 3 1 x y xy x y     = (x + y)2 - 2(x + y) + 1 + y2 –

y +1/4 – 1/4

M = (x + y -1)2 + (y - 1/2)2 - 1/4  -1/4. Vậy min M = -1/4 khi x

= y = 1/2

0,25

0,5

DeThi.edu.vn

3

c Ta có:

2 2 2 4 2 . 4 4 4 4 4 4 a a b c b c a b c b c b c a b c a b c b c b c                  

Tương tự

2 4

4 b b a c a c

    và

2 4

4 c c a b a b

    Cộng vế với vế ta

có

2 2 2

2 a b c a b c b c c a a b

       

0.5

0.25

K

G

M N

E

D

A

O

H B C

0.25

a Tứ giác ADHE là HCN suy ra: D; O; E thẳng hang

HS chứng minh MD  DE ( góc MDH = góc MHD; góc ODH = góc

OHD)

Tương tự: NE DE

Suy ra: MD // NE

0.25

0.25

0.25

0.25

b

Kẻ MK AN MK cắt OH tại G, tam giác ABC vuông tại A có AH là

đường cao nên AH2 = HB.HC suy ra

1 1 2 2

HB AH HB AH HB AH AH HC OH HN AH HC      . Vậy HOB HNA   : suy ra

góc HBO = góc HAN mà góc HAN = góc HMK (góc có cạnh tương ứng

vuông góc) nên góc HBO = góc HMK suy ra BO // MK vì M là trung

điểm BH suy ra G cũng là trung điểm OH.

0.25

0.5

0.25

Câu

4

c

Ta có

. . ( ) ( ) .2. . 2 2 2 AMN

AH MN R R S R MN R HM HN HB HC HB HC         

= 2R2. Vậy SAMN nhỏ nhất bằng 2.R2 khi HB = HC hay tam giác ABC

0.5

0.25

DeThi.edu.vn