Đề thi học sinh giỏi cấp quận vòng 2 môn Toán Lớp 9 - Năm học 2020-2021

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẬN LONG BIÊN

KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP QUẬN VÒNG 2

NĂM HỌC 2020-2021

Môn thi : Toán Ngày thi : 14/11/2020 Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề )

Câu 1: (6,0 điểm).

1) Giải phương trình: 2 2 4 20 28 3 15 20      x x x x .

2) Cho ba số thực x,y,z thỏa mãn điều kiện : 0 x y z    . Chứng minh rằng:

3 3 3 3    x y z xyz .

3) Cho các số nguyên , , a b c thoả mãn điều kiện:

3 3 3 ( ) ( ) ( ) 378       a b b c c a .

Tính giá trị của biểu thức       A a b b c c a . Câu 2: (3,0 điểm).

1) Cho a,b,c là các số nguyên thỏa mãn điều kiện: a + b + c chia hết cho 12

Chứng minh: P = (a + b)(b + c)(c + a) – 5abc chia hết cho 12. 2) Có tồn tại hay không 3 số nguyên x, y , z thỏa mãn điều kiện :

3 3 3 2020.       x y z x y z Câu 3: ( 3,0 điểm).

1) Cho x,y là hai số thực dương. Chứng minh rằng:

2 2

2 2

3 3 4 0 x y x y y x y x     

2) Cho số thực x thỏa mãn 0 2   x . Tìm GTNN của biểu thức:

4 100 2021 2     A x x .

Câu 4: (7,0 điểm).

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, ba đường cao AK, BD, CE cắt nhau tại H.

1) Chứng minh: . .  BH BD BC BK và 2 . .   BH BD CH CE BC . 2) Chứng minh .cot  BH AC ABC . 3) Gọi M là trung điểm của BC. Đường thẳng qua A vuông góc với AM cắt

đường thẳng BD, CE lần lượt tại Q và P. Chứng minh :  MP MQ . Câu 5: ( 1,0 điểm).

Trên bảng, người ta viết các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 100 sau đó thực hiện trò chơi như sau: Mỗi lần xóa hai số a, b bất kỳ trên bảng và viết một số mới bằng 2   a b lên bảng. Việc làm này thực hiện liên tục, hỏi sau 99 bước số cuối cùng còn lại trên bảng là bao nhiêu? Tại sao?

----------- Hết -----------

Họ tên Thí sinh:.................................................SBD..............................................

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Thí sinh nộp lại đề khi thi xong.

ĐỀ CHÍNH THỨC

DeThi.edu.vn

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

QUẬN LONG BIÊN

HƯỚNG DẪN CHẤM

Năm học 2020-2021

Môn thi : Toán

Câu ý Nội dung trình bày Điểm

1

1 Giải phương trình: 2 2 4 20 28 3 15 20      x x x x 3,0 đ

Đặt   2 5 7, 0     t x x t 2 2 5 7     x x t . ĐKXĐ: x R 

Phương trình trở thành: 2 2 3 1   t t

0,5 đ

   2

1 3 2 1 0 1 3 1 0 1 3

             

t t t t t

t

1,0 đ

+/ Ta có : 1 0 3 t    ( loại), 1 t ( thỏa mãn ) 0,5 đ

+/ Với t = 1, ta có :

2 2 5 7 1 5 6 0       x x x x 2   x hoặc 3  x .

0,5 đ

Vậy phương trình có tập nghiệm là   2;3  S 0,5 đ

2 Cho 0 x y z    . Chứng minh rằng: 3 3 3 3    x y z xyz 1,5 đ

Ta có :   0 x y z z x y       0,5 đ

 

3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 3 3 3              VT x y z x y x y x y x x y xy y 0,5

  3 3     VT xy x y xyz VP 0,5 đ

3 Cho các số nguyên , , a b c thoả mãn 3 3 3 ( ) ( ) ( ) 378       a b b c c a .

Tính giá trị của biểu thức       A a b b c c a .

1,5 đ

Đặt ; a b x   b c y  ; c a z    0 x y z   . Ta có: 3 3 3 378 3 378      x y z xyz 126   xyz .

0,5 đ

Do , , x y z là số nguyên có tổng bằng 0 và 126 . . ( 2).( 7).9     xyz x y z

Nên

2 2 7 7 9 9 7; 9 ; 2; 9 ; 7; 2. 9 7 9 2 2 7

                                               

x x x x x x y y y y y y z z z z z z

0,25 đ

0,25 đ Suy ra : 18.        A a b b c c a 0,5 đ

2 1 Cho a,b,c là các số nguyên thỏa mãn điều kiện: a + b + c chia hết cho 12.Chứng minh: P = (a + b)(b + c)(c + a) – 5abc chia hết cho 12. 1,5 đ

DeThi.edu.vn