Quảng cáo

Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán THCS - Năm học 2013-2014 - Sở giáo dục và đào tạo Phú Thọ (Có đáp án)

Nguồn: dethi.edu.vn

Đọc sách

Báo tài liệu không phù hợp

Xem trước nội dung

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH PHÚ THỌ NĂM HỌC 2013 – 2014 MÔN: TOÁN - THCS Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1 (3,0 điểm) a) Giải phương trình trên tập số nguyên 2 2 5 4 4 8 12 0. x y xy x y       b) Cho 

3 2 3 14 2 P x x x x     . Tìm số các số tự nhiên x nhỏ hơn 100 mà  P x chia hết cho 11. Câu 2 (4,0 điểm)

a) Tính giá trị biểu thức

3 2

3 2 4 5 2 a a P a a a       , biết 3 3 55 3024 55 3024. a    

b) Cho các số thực , , x y z đôi một khác nhau thỏa mãn

3 3 3 1, 3 1 x x y y     và 3 3 1. z z  

Chứng minh rằng 2 2 2 6 x y z    . Câu 3 (4,0 điểm)

a) Giải phương trình 1 3 1 3 1. 4 x x x x    

b) Giải hệ phương trình

2 2

2 2 3 2 4 8 4 0

2 3 0.

x y xy x y

x y x y

             

Câu 4 (7,0 điểm) Cho đường tròn (O; R) và dây cung BC không đi qua tâm. Gọi A là điểm chính giữa của

cung nhỏ BC. Góc nội tiếp  EAF quay quanh điểm A và có số đo bằng  không đổi sao

cho E, F khác phía với điểm A so với BC; AF và AE cắt đường thẳng BC lần lượt tại M và

N. Lấy điểm D sao cho tứ giác MNED là hình bình hành.

a) Chứng minh MNEF là tứ giác nội tiếp.

b) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MDF. Chứng minh rằng khi góc nội tiếp

 EAF quay quanh điểm A thì I chuyển động trên một đường thẳng cố định.

c) Khi 0 60  và BC R  , tính theo R độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng OI.

Câu 5 (2,0 điểm) Cho các số thực dương , , x y z thỏa mãn 3 x y z    .

Chứng minh rằng

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 . 4 4 4 x y z y z x z x y xyz yz zx xy            

-----------Hết----------

Họ và tên thí sinh:………………………………………. Số báo danh:……………………… Thí sinh không sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

ĐỀ CHÍNH THỨC

DeThi.edu.vn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO PHÚ THỌ

ĐÁP ÁN-THANG ĐIỂM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2013-2014 Môn: TOÁN - THCS (Đáp án - thang điểm gồm 05 trang)

I. Một số chú ý khi chấm bài  Đáp án chấm thi dưới đây dựa vào lời giải sơ lược của một cách, khi chấm thi, giám khảo cần bám sát yêu cầu trình bày lời giải đầy đủ, chi tiết, hợp lô-gic và có thể chia nhỏ đến 0,25 điểm.  Thí sinh làm bài cách khác với Đáp án mà đúng thì tổ chấm cần thống nhất cho điểm tương ứng với thang điểm của Đáp án.  Điểm bài thi là tổng điểm các câu không làm tròn số.

II. Đáp án-thang điểm Câu 1 ( 3,0 điểm) a) Giải phương trình sau trên tập số nguyên 2 2 5 4 4 8 12 0. x y xy x y       b) Cho 

3 2 3 14 2 P x x x x     . Tìm số các số tự nhiên x nhỏ hơn 100 mà  P x chia hết cho 11.

Nội dung Điểm a) Phương trình tương đương với

    2 2 2 4 4 4 2 4 16 x y xy x y y         

2 2 2 2 16 ; x y y      0,5

mà ,x y  nên  

2 2 2 16, 0 (1) x y y     hoặc 2 2 2 0, 16 (2) x y y     . 0,5

Ta có

(1) 2, 0 x y    hoặc 6, 0 x y   . (2) 4, 6 y x    hoặc 4, 10 y x   .

Vậy phương trình đã cho có nghiệm là          ; 2; 0 , 6; 0 , 6; 4 , 10; 4 . x y    

0,5

b) Bổ đề: Cho x, y là các số tự nhiên và số nguyên tố p có dạng 3 2 p k   thì     3 3 mod mod x y p x y p    .

Thật vậy,     3 3 mod mod x y p x y p    , đúng.

Với     3 3 3 3 mod mod k k x y p x y p    . Với ,x y cùng chia hết cho p thì hiển nhiên đúng.

Với     , 1, , 1 x p y p   ta có     1 1 3 1 3 1 1 mod mod p p k k x y p x y p             3 3 . . mod mod k k x x y y p x y p     vì   3 3 mod k k x y p  .

0,5

Áp dụng Bổ đề, ta có

            

        

3 3

3 3 mod 11 1 11 1 10 1 11 1 10 mod 11

1 1 mod 11 1 1 mod 11 mod 11 .

P x P y x x y y

x y x y x y

          

        

Do đó,      mod 11 mod 11 . P x P y x y   