Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 tỉnh Quảng Bình - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 9 TỈNH QUẢNG BÌNH

Năm học 2018 – 2019

Câu 1 (2.5 điểm).

a) Cho biểu thức với . Rút gọn và tìm giá trị lớn nhất của biểu

thức A.

b) Không sử dụng máy tính bỏ túi, hãy rút gọn biểu thức

Câu 2 (2.0 điểm).

a) Xác định các hệ số a và b để đa thức là bình phương của một đa thức.

b) Giải phương trình

Câu 3 (2.5 điểm).

Cho đường tròn và dây cung không đổi (tâm O không thuộc BC). Điểm A di động trên cung lớn

BC sao cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H

.

a) Trong trường hợp , hãy tính AH theo a.

b) Trong trường hợp bất kì, tìm vị trí của điểm A để tích nhận giá trị lớn nhất.

Câu 4 (1.0 điểm).

Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho là một số chính phương

Câu 5 (1.0 điểm).

Cho ba số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng:

Câu 6 (1.0 điểm).

Cho tam giác ABC có . Xét hình chữ nhật MNPQ sao cho M và N thuộc cạnh BC, P

thuộc cạnh AC, Q thuộc cạnh AB. Hãy xác định kích thước của hình chữ nhật MNPQ để nó có diện tích lớn nhất.

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1 (2.5 điểm).

a) Cho biểu thức với . Rút gọn và tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A.

Lời giải. Với ta có biến đổi biểu thức A như sau

1 3 2 A

x 1 x x 1 x x 1       

x 0 

B 4 10 2 5 4 10 2 5      



4 3 2 P x x 2x 3x ax b     

2 3 4x 4x 1 16x 8x 1      

 O BC a 

  D BC,E CA,F AB   

· · BHC BOC 

DH.DA

n C 2019 2020  

x y z 2 xyz    

  x y z 6 2 xy yz zx      

AB 3;CA 4;BC 5   

1 3 2 A

x 1 x x 1 x x 1       

x 0 

x 0 

DeThi.edu.vn

Vậy với ta được .

Do nên từ ta được .

Do đó suy ra , dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi (thỏa mãn).

Vậy giá trị lớn nhất của A là 1, xẩy ra tại .

b) Không sử dụng máy tính bỏ túi, hãy rút gọn biểu thức.

Lời giải. Bình phương biểu thức B ta được

Do nên từ kết quả trên ta suy ra được .

Câu 2 (2.0 điểm).

a) Xác định các hệ số a và b để đa thức là bình phương của một đa thức.

Lời giải 1. Do đa thức có bậc 4 với hệ số cao nhât là 1. Giả sử .

Hay ta được .

Từ đó ta được

Đồng nhất hệ số hai vế ta được

Vậy đa thức đã cho là .

Lời giải 2. Biến đổi đa thức đã cho như sau

    

     

1 3 2 1 3 2 A

x 1 x x 1 x x 1 x 1 x x 1 x 1 x x 1

x x 1 3 2 x 1 x x x

x x 1 x 1 x x 1 x 1 x x 1

               

        

       

x 0  x A

x x 1 

 

x 0  x A

x x 1 

 

1 x x 1 1 x 1 2 1 1 A x x

        

A 1  x 1 

x 1 

B 4 10 2 5 4 10 2 5      

     

2

2

2

B 4 10 2 5 4 10 2 5

4 10 2 5 4 10 2 5 2 4 10 2 5 4 10 2 5

8 16 10 2 5 8 2 6 2 5 8 2 5 1 6 2 5 5 1

                               

             

B 0  B 5 1  



4 3 2 P x x 2x 3x ax b     

  P x   

2 2 P x x mx n   

    

2 2 4 3 2 2 2 P x x mx n x 2mx m 2n x 2mnx n         

  4 3 2 4 3 2 2 2 x 2x 3x ax b x 2mx m 2n x 2mnx n          

2

2 2

2m 2 m 1 m 1 2n 2 m 2n 3 n 1 a 2n a 2mn a 2 b 1 b n b n

                                   



4 3 2 P x x 2x 3x 2x 1     



DeThi.edu.vn