Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 - Sở giáo dục và đào tạo Quảng Ngãi (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

QUẢNG NGÃI ĐỀ CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

LỚP 9 NĂM HỌC 2018-2019 MÔN TOÁN Thời gian làm bài : 150 phút Bài 1. a) Cho , , a b clà ba số nguyên thỏa mãn 3 2018 . a b c c Chứng minh rằng

3 3 3 A a b c chia hết cho 6 b) Tìm các số nguyên dương ,x y thỏa mãn 4 1 3 x y c) Cho 1.2.3 2.3.4 3.4.5 .... 1 2 B n n n với *. n *.Chứng minh rằng B không thể là số chính phương Bài 2. a) Giải phương trình : 2 3 4 11 2 5 3 7 x x x x

b) Giải hệ phương trình:

2 2

3 3 2 2 5

6

x x y y

x y x y xy

­ °® °¯

Bài 3.

a) Rút gọn biểu thức

2 2 2 1 1 1

x x C x x x

với 0. x !

b) Cho các số thực , , a b cthỏa mãn 1. a b c Tìm GTLN của D ab ac c) Với , , x y z là độ dài ba cạnh của một tam giác Chứng minh rằng y z x z x y x y z xyz d Bài 4. Cho tam giác ABC nhọn , AB AC đường phân giác . AD D BC  Các điểm E và F lần lượt chuyển động trên các caanhj , AB AC sao cho . BE CF Trên cạnh BC lấy các điểm P và Q sao cho EP và FQ cùng song song với AD a) So sánh BP và CQ b) Chứng minh rằng trọng tâm G của tam giác AEF thuộc một đường thẳng cố định Bài 5. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính 2 . AB R Gọi C là trung điểm của AO, vẽ tia Cxvuông góc với ABcắt nửa đường tròn (O) tại I. Lấy K là điểm bất kỳ trên đoạn CI (K khác C và I), tia AK cắt nửa đường tròn (O) tại M, tia BM cắt tia Cxtại D. Vẽ tiếp tuyến với đường tròn O tại M cắt tia Cxtại N. a) Chứng minh rằng KMN ' cân b) Tính diện tích ABD ' theo R khi K là trung điểm của CI c) Khi K di động trên . CL Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp AKD ' đi qua điểm cố định thứ hai khác A

DeThi.edu.vn

ĐÁP ÁN

Bài 1.

a) Ta có: 3 2018 1 1 2016 a b c c a b c c c c c œ chia hết cho 6. Mặt

khác 3 3 3 1 1 1 1 1 1 a b c a b c a a a b b b c c c chia

hết cho 6. Do đó 3 3 3 A a b c chia hết cho 6 b) Xét 1 1 x y Ÿ

Xét 2 x t thì 4 8. x 8.Nếu y chẵn , đặt 2 * 1 3 1 9 2 mod8 y k y k k  Ÿ { * 1 * 1 , vô lý

Nếu y lẻ, đặt 2 1 * 1 3 1 9 .3 4 mod8 , y k y k k  Ÿ { * 1 * 1 vô lý

Vậy 1 x y thỏa mãn bài toán

c) Ta có : 4 1.2.3.4 2.3.4. 5 1 3.4.5. 6 2 .... 1 2 3 1 B n n n n n ª º ¬ ¼

2 4 3 2 4 3 2 2 1 2 3 6 11 6 6 11 6 1 3 1 n n n n n n n n n n n n n n

Mặt khác: 2 4 3 2 4 3 2 2 6 11 6 6 9 3 n n n n n n n n n !

2 2 2 2 3 4 3 1 n n B n n Ÿ

Do đó B không thể là số chính phương

Bài 2.

a) ĐKXĐ: 7. 3 x t Phương trình tương đương

2 3 3 3 3 7 4 4 4 3 7 3 7 3 7 3 7 0

3 1 3 7 4 1 3 7 3 7 1 3 7 0

1 3 7 3 4 3 7 0

x x x x x x x x x x

x x x x x x x x

x x x x

œ

œ

Xét 2 3 7 1 3 7 1 3 1

x x x x x x

­ ° œ œ ® t °¯

DeThi.edu.vn

Xét

2 3 7 4 3 3 5 3 7 4 3 7 4 2 3 3

x x x x x x

­ ° œ Ÿ ® d d °¯

Vậy 3 5 3; 2 S ­ ½ ° ° ® ¾ ° ° ¯ ¿

b) Hệ phương trình

2 1 5

6

x y x y

x y x y

­° œ ® °¯

Đặt x y a x y b ­ ® ¯ ta có:

2 1 5

6

a b

ab

­ °® °¯

Nếu 0 , b x y Ÿ vô nghiệm . vậy 0 b z ta có: 2 2 6 6 . ab a b Ÿ Thế vào 1 5 a b được

2

7 3 3 4 2 2 1 2 2 4 5 6 0 11 2 2 6 3 3 7 3 3 6

x x y b a x y y b b x x y b a x y y

ª ­ ­ « ° ° ° Ÿ Ÿ œ « ® ® « ° ° ¯ « °¯ œ « ­ « ­ ° « ° ° Ÿ Ÿ œ ® ® « ° ° « ¯ ° « ¯ ¬

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm

Bài 3.

a) Ta có

2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 1 1 1 1

x x x x x C x x x x x x x

2 1 1 1 1 1 1 1 x x x x x x x x x § · ¨ ¸ © ¹

b) Ta có:

2 2 1 1 1 1 . 2 4 4 D a b c a a a a a § · d ¨ ¸ © ¹

DeThi.edu.vn