Đề thi chọn học sinh giỏi vòng I môn Toán Lớp 9 - Năm học 2013-2014 - Phòng giáo dục và đào tạo Thanh Chương (Có đáp án)

PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 9 VÒNG I

NĂM HỌC 2013-2014.

MÔN THI: TOÁN 9 Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian giao đề)

Bài 1: ( 2.0 điểm)

a) Rút gọn biểu thức: A =

b) Chứng minh B = a5 - 5a3 + 4a chia hết cho 120. c) Tìm số nguyên m để C = là số nguyên. Bài 2: (2.0 điểm) Giải các phương trình sau:

a)

b) c) Bài 3: ( 2.5 điểm) a) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức M = b) Cho x; y là các số thực thỏa mãn Tính N = x2 + y2

Bài 4: ( 3.0 điểm) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, vẽ đường cao AD và BE. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC.

a) Chứng minh: tanB.tanC =

b) Chứng minh:

c) Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC.

Chứng minh rằng:

Bài 5: (0.5 điểm) Chứng minh rằng trong 2n+1 - 1 số nguyên bất kỳ đều tồn tại 2n số có tổng là một số chẵn.

Hết ./.

Họ và tên thí sinh: .............................................................Số báo danh:.....................

5 3 3 5

2 3 5 2 3 5

      

2 1 m m  

3 1 1 4 x x x    

2 5 8 2 2 x x x    

2 2 (4 1) 1 2 2 2 x x x x    

2 2 5 x x  

2 2 1 1 1. x y y x    

AD HD

2 . 4 BC DH DA 

bc

a A

2 2 sin 

DeThi.edu.vn

PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG

ĐÁP ÁN THI HSG MÔN: TOÁN 9

NĂM HỌC 2013-2014 Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian giao đề) TT Ý Nội dung Điểm a A = =

A =

A =

0.25

0,5

0.25 b B = a5 - 5a3 + 4a = a(a4 - 5a2 +4) = a(a4 - a2 - 4a2+4) B = a[a2(a2 - 1) - 4(a2 - 1)] = a(a2 - 1)(a2 - 4) B= (a - 2)(a - 1) a(a + 1)(a + 2) chia hết cho 120

0.25 0.5 0.25

Bài 1 (2.5 điểm)

c Để C = là số nguyên thì

Học sinh tìm được m = 0; m = -1

0,25

0,25

a ĐK ,

Với Pt vô nghiệm; với bình phương hai vế HS

tìm được x =

0.25

0.25

0.25

b Đk: , 0.25 0.5

Bài 2

c Đặt phương trình trở thành 4xy - y = 2y2 - 2x 2y2 - 2x - 4xy + y = 0 y(2y +1) - 2x(2y + 1) = 0 ( 2y + 1)(y - 2x) = 0 y = 2x (vì y

= -1/2 loại).

0.25

0.25

Bài 3

a Đk: . *)Ta có M2 = ( )2

Nếu M = 5 thì M2 = 25 dấu bằng BĐT xảy ra và

0.5

0.5

5 3 3 5

2 3 5 2 3 5

      

2( 5 3) 2(3 5)

2 6 2 5 2 6 2 5

      

2 2 2( 5 3) 2(3 5) 2( 5 3) 2(3 5) 5 3 3 5 2 ( 5 1) 2 ( 5 1)

            

2 2

2 1 m m   2 2 1 ( ) m m k k Z   

2 2 2 2 4 4 4 4 (2 1) 3 4 m m k m k        

2 2 (2 ) (2 1) 3 (2 2 1)(2 2 1) 3 k m k m k m         

3 4 x   3 1 1 4 x x x     3 3 1 1 4 4 4 x x x       

2 3 1 1 4 2 x x             

3 1 1 4 2 x x      3 1 4 2 x x    

3 1 4 2 x     1 2 x  

2 2 2 x  2 2 5 8 2 2 6 9 2 2 2 1 x x x x x x x            

2 2 ( 3) ( 2 1) 0 3 x x x       

2 1 1 x y   2 (4 1) 2 2 x y y x   

   

 2 1 2 x x   1 3 x 

5 5 x   

2 2 5 x x   2 2 2 2 (2 1 )( 5 ) 25 x x     

2 25 M   5 5 M  

 2 5 2 x x  

DeThi.edu.vn

x = 2. Vậy max M = 5 khi x = 2. *) Theo trên thì nhưng giá trị nhỏ nhất của M không bằng - 5 vì vậy min M = khi x =

0,25

0.5

b ĐK: .theo bài ra ta có

=

Dấu bằng xảy ra khi: và hay x2 = 1- y2 hay x2 + y2 = 1 vậy N = 1

0,25

0,25

0,25

K

G

H

E

D

A

B C

0.25

a Ta có tanB = ; tanC = tanB.tanC = (1)

Xét 2 tam giác vuông ADC và BDH có vì cùng phụ với góc C nên ta có :

(2)

Từ (1) và (2) tanB.tanC = .

0.5

0.25

0.25

0,25

Bài 4

b Theo câu a. ta có: 1.0

2 5 x  

5 5 M   5 5 x     2 5 M  2 5 

5 

1 ; 1 x y  

2 2 2 2 1 1 1 1 x y y x x y y x       

2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2 2 x y y x x y y x        

2 1 x y   2 1 y x  

AD BD

AD DC 

2

. AD BD DC · · DAC DBH 

AD BD ADC BDH DC DH     : . . AD DH DB DC   

2

. AD AD BD DC HD 

 AD HD

2 2 ( ) . . 4 4 DB DC BC DH DA DB DC    

DeThi.edu.vn