Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 THCS - Năm học 2013-2014 - Sở giáo dục và đào tạo Quảng Nam (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS

Năm học 2013 – 2014 Môn thi : TOÁN Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 08/04/2014

Câu 1 (4 điểm).

a) Rút gọn biểu thức với x ≥ 4.

b) Cho a, b, c, d, e, f là các số thực khác 0, thỏa mãn và .

Tính giá trị của biểu thức .

Câu 2 (4 điểm).

a) Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho n2 – 14n – 256 là một số chính phương. b) Cho a là số tự nhiên lớn hơn 5 và không chia hết cho 5.

Chứng minh rằng chia hết cho 5, với mọi số tự nhiên n.

Câu 3 (6 điểm).

a) Giải phương trình .

b) Giải hệ phương trình

c) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh rằng abc + 2(1 + a + b + c + ab + ac + bc) ≥ 0.

Câu 4 (3 điểm).

a) Cho hình bình hành ABCD, các điểm M và N theo thứ tự thuộc các cạnh AB và BC sao cho AN = CM. Gọi K là giao điểm của AN và CM. Chứng minh rằng KD là tia phân giác của góc AKC.

b) Cho ∆ABC vuông ở A (AB < AC). Biết BC = và bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC bằng 2. Tính số đo góc B và góc C của ∆ABC.

Câu 5 (3 điểm).

Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Trên cạnh BC lấy một điểm D tùy ý (D khác B và C). Đường tròn tâm O1 qua D và tiếp xúc với AB tại B; đường tròn tâm O2 qua D và tiếp xúc với AC tại C; hai đường tròn này cắt nhau tại điểm thứ hai là E.

a) Chứng minh rằng khi D di động trên cạnh BC thì đường thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định.

b) Giả sử ∆ABC cân tại A, chứng minh rằng tích AD.AE không phụ thuộc vào vị trí điểm D trên cạnh BC.

-------HẾT-------

A x 4 x 4 x 4 x 4      

a b c 1 d e f    d e f 0 a b c   

2 2 2

2 2 2 a b c B d e f   

8n 4n a 3a 4  

2 x x 2014 2014   

2 x y z 2

2xy z 4

       

4 4 3 

ĐỀ CHÍNH THỨC

DeThi.edu.vn

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS

Năm học 2013 – 2014

MÔN: TOÁN

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC

I. Hướng dẫn chung:

1. Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án và đúng thì giám khảo căn cứ vào thang điểm của đáp án để cho điểm hợp lí.

2. Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không sai lệch với hướng dẫn chấm và phải được thống nhất trong Hội đồng chấm thi.

3. Điểm toàn bài lấy điểm lẻ đến 0,25

II. Đáp án: Câu Nội dung Điểm a) Với x ≥ 4, ta có :

A

Xét các trường hợp :

* Với x ≥ 8 ta có : A

* Với 4 ≤ x < 8 ta có : A

0,25

0,5

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25 1 (4đ) b) Với a, b, c, d, e, f là các số thực khác 0, ta có:

Mà

Vậy = 1

0,5

0,5

0,5

0,5

   

2 2 (x 4) 4 x 4 4 (x 4) 4 x 4 4

x 4 2 x 4 2

x 4 2 x 4 2

         

     

     

x 4 2 x 4 2

2 x 4

     

 

x 4 2 x 4 2 4       

2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 2 2

a b c a b c 1 1 d e f d e f

a b c 2ab 2bc 2ac 1 d e f de ef df a b c 2abc f d e 1 d e f def c a b

           

      

             d e f 0 a b c   

2 2 2

2 2 2 a b c B d e f   

DeThi.edu.vn

Câu Nội dung Điểm a) Đặt n2 – 14n – 256 = k2 (k  )  (n – 7)2 – k2 = 305  (n – 7 – k)(n – 7 + k) = 305 Mà 305 = 305.1 = (–305).( –1) = 5.61 = (–5).( –61) và (n – 7 – k) ≤ (n – 7 + k) nên xét các trường hợp:

Vì n và k là các số tự nhiên nên ta chọn n = 160 hoặc n = 40.

0,25 0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

0,25

2 (4đ)

b)

Vì a là số tự nhiên lớn hơn 5 và không chia hết cho 5 nên:

0,25

0,25

0,25

0,25

¥

n 7 k 1 n 7 k 305

n 7 k 305 n 7 k 1

n 7 k 5 n 7 k 61

n 7 k 61 n 7 k 5

                                           

n 160 k 152

n 146 k 152

n 40 k 28

n 26 k 28

                           

   

  

       

    

  

  

8n 4n 8n 4n

n n 8 4

n 1 n 2 n 1 n 2 8 8 8 4 4 4

4 4 4

4 4

2 2

A a 3a 4 a 1 3 a 1

a 1 3 a 1

a 1 a a ... 1 3 a 1 a a ... 1

a 1 a 1 .B 3 a 1 .C

a 1 a 1 .B 3C

a 1 a 1 .D

   

      

                                     …