Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán Lớp 9 - Bảng A - Năm học 2014-2015 - Sở giáo dục và đào tạo Nghệ An (Có đáp án)

1

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 CẤP THCS

NĂM HỌC 2016 – 2017 Môn thi: TOÁN - BẢNG A Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (4 điểm). a. Tìm các hệ số b, c của đa thức 

2 P x x bx c    biết  P x có giá trị nhỏ nhất bằng 1  khi x 2. 

b. Giải hệ phương trình    

2 2 3

2

x xy xy y 0

2 x 1 3 x y 1 y 0.

           

Câu 2 (4 điểm).

a. Giải phương trình 2 x 2 3 1 x 1 x      . b. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab bc ca 1.    Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2 2 2a b c P

1 a 1 b 1 c      

.

Câu 3 (3 điểm). Cho tam giác ABC có  0 BAC 135 ,  BC = 5cm và đường cao AH = 1cm. Tính độ dài các cạnh AB và AC. Câu 4 (5 điểm). Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn tâm O, D là điểm trên cung BC không chứa A. Dựng hình bình hành ADCE. Gọi H, K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC, ACE ; P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của K trên các đường thẳng BC, AB và I là giao điểm của EK với AC.

a. Chứng minh ba điểm P, I và Q thẳng hàng. b. Chứng minh đường thẳng PQ đi qua trung điểm của đoạn HK. Câu 5(4 điểm). a. Tìm tất cả các số nguyên tố khác nhau m, n, p, q thỏa mãn

1 1 1 1 1 1. m n p q mnpq     

b. Trên một bảng có ghi hai số 1 và 5. Ta ghi các số tiếp theo lên bảng theo quy tắc: Nếu có hai số x,y phân biệt trên bảng thì ghi thêm số z x y xy    . Chứng minh rằng các số được viết trên bảng (trừ số 1) có dạng 3k + 2 (với k là số tự nhiên).

------------ Hết ------------

Đề chính thức

DeThi.edu.vn

2

SỞ GD&ĐT NGHỆ AN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 CẤP THCS

NĂM HỌC 2016 – 2017 Môn thi: TOÁN - BẢNG A Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề)

Hướng dẫn chấm thi gồm 04 trang.

Câu Nội dung Điểm Câu 1(4 điểm). a. Tìm các hệ số b, c của đa thức 

2 P x x bx c    biết  P x có giá trị nhỏ nhất bằng 1  khi x 2. 

b. Giải hệ phương trình    

2 2 3

2

x xy xy y 0

2 x 1 3 x y 1 y 0.

           

1 (4,0)

a 2,0

Ta có P(x) =

2 2 2 b b b x c c 2 4 4           

1,0

Suy ra

2 b c 1 b 4 4

c 3. b 2 2

              

1,0

b 2,0

     

2 2 3

2

x xy xy y 0 1

2 x 1 3 x y 1 y 0 2

           

ĐK: x 0 

(1)    2

2 x y 0 x y x y 0 x y 0          

0,5

TH1: 2 x y 0   , suy ra x y 0   không thỏa mãn hệ. 0,25 TH2: x - y = 0 hay y = x thế vào (2) ta được :

    2 2 x 1 3 x x 1 x 0      2 2x 3x x x 3 x 2 0       0,5

    x 2 2 x 1 x x 1 0      

x 4 x 2

1 1 x . x 4 2

              

0,5

Vậy hệ phương trình có nghiệm :     x;y 4;4  và   1 1 x;y ; . 4 4      

0,25

Câu 2(4 điểm).

a. Giải phương trình 2 x 2 3 1 x 1 x      . b. Cho các số dương a, b, c thỏa mãn ab bc ca 1.    Tìm giá trị lớn nhất của biểu

Đề chính thức

DeThi.edu.vn

3

thức

2 2 2 2a b c P

1 a 1 b 1 c      

.

2 (4,0)

a 2,0

ĐK: 1 x 1   Đặt a = 1 x  , b = 1 x  ( a,b 0  ) 0,25

Ta có   2 2 2 2 2a b 1 3ab a 2a 3b 1 a b 1 0         0,5

a b 1

b 1 a . 2

       

0,25

Với a = b +1 ta có 1 x 1 x 1 2x 1 2 1 x      

(ĐK 1 x 2  ) 2 3 4x 4x 1 4 4x x 2       (thỏa mãn).

0,5

Với b 1 a 2

  ta có 1 x 1 1 x 2 1 x 1 1 x 2        

4 1 x 5x 4     (ĐK 4 x 5  )

2 24 25x 24x 0 x 25      (thỏa mãn).

Vậy 3 x 2  và 24 x 25  là nghiệm của phương trình.

0,5

b 2,0

Ta có

        

2a b c P

a b a c b c b a c b c a         

0,5

         1 1 1 a.2 b.2 c.2 a b a c 4 b c b a 4 c b c a         

0,5

    1 1 1 1 1 1 9 a b c a b a c 4 b c b a 4 c b c a 4

                              

0,5

Vậy GTLN của P bằng 9

4

khi a 15 b c . 7 15    0,5

Câu 3(3 điểm). Cho tam giác ABC có  0 BAC 135 ,  BC = 5cm và đường cao AH = 1cm. Tính độ dài các cạnh AB và AC.

3 (3,0)

Kẻ CK   AB K AB  

ta có  0 CAK 45  suy ra tam giác AKC vuông cân tại …