Đề thi chọn học sinh giỏi vòng trường môn Toán Lớp 9 - Năm học 2013-2014 - Trường THCS Long Kiên (Có đáp án)

TRƯỜNG THCS LONG KIẾN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TRƯỜNG

Năm học 2013 - 2014

MÔN TOÁN THỜI GIAN: 150 phút Bài 1. (3,0 điểm)

Rút gọn biểu thức:

A =

√ √ √ √

√ √ √ √

√

B =

√

√ √ √

√

√ √ √

Bài 2. (3,0 điểm)

a) Giải phương trình (x + 1)(x + 3)(x + 5)( x + 7) = 9 b) Cho đa thức: f(x) = mx3 + (m – 2)x2 – (3n – 5)x – 4n. Hãy xác định m và n sao cho

f(x) chia hết cho x + 1 và x – 3.

Bài 3. (4,5 điểm)

a) Phân tích đa thức ( )

thành nhân tử.

b) Cho hàm số

, . Định x để y đạt giá trị nhỏ nhất.

c) Chứng minh rằng : √ √

√

với a > 0, b > 0, a ≠ b

Bài 4. (4,5 điểm)

a) Chứng minh rằng hàm số y = (m2 + 2m + 3)x + m +1 luôn đồng biến trên R với

mọi m.

b) Vẽ đồ thị của hàm số √ √ c) Cho các điểm A(2; 8) và B(4; 2). Xác định đường thẳng y = ax sao cho A và B

nằm về hai phía của đường thẳng và cách đều đường thẳng đó.

Bài 5. (5,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, HB = 20 cm, HC = 45 cm. vẽ đường tròn tâm A bán kính AH. Kẻ tiếp tuyến BM, CN với đường tròn (M và N là các tiếp điểm, khác điểm H).

a) Chứng minh: Ba điểm M, A, N thẳng hàng. b) Tính diện tích của tứ giác BMNC. c) Gọi K là giao điểm của CN và HA. Tính các độ dài AK và KN. d) Gọi I là giao điểm của AM và CB. Chứng minh CA  IK .

------------------HẾT----------------

DeThi.edu.vn

Bài ĐÁP ÁN Điểm

1

A =

√ √ √ √

√ √ √ √

√ ĐK

A2 =

√ √( √ )( √ ) √

√ √( √ )( √ ) √

( )

=

√ ( )

√ ( ) ( )

=

√( )

√( ) ( )

=

| |

| | ( )

 Nếu x > 2 thì A2

( )( )

Suy ra A = √

 Nếu thì

( )

Suy ra A = √

1,5

B =

√

√ √ √

√

√ √ √

√

√

√ √

√

√ √

√

√

√

√

√

√

√

√

( √ )( √ )

( √ )( √ )

√ √

Suy ra B = √

1,5

2 a

(x + 1)(x + 3)(x + 5)( x + 7) = 9  ( )( )  ( )( )  ( )  ( )( )



 ( )

 ( ) (√ )

 ( √ )( √ )  √ √

1,5

DeThi.edu.vn

  ( ) ⇔ Vậy pt (1) có tập nghiệm { √ √ }

b

f(x) = mx3 + (m – 2)x2 – (3n – 5)x – 4n chia hết cho x + 1 và x – 3.

Ta có {

{

{

{

Vậy

thì f(x) = mx3 + (m – 2)x2 – (3n – 5)x – 4n chia hết cho x + 1 và x – 3

1,5

3

a

( )

( )

(

–

)

[(

)

(

)

]

( )( )

( )( )( )( )

1,5

b

,

Ta có

vì

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được

( )

√

( )

√

Dấu ‘=’ xãy ra 

( )

 (

)



√ ( )

 √ √  ( √ ) √ 

√

Vậy

√

thì miny = √

1,5

DeThi.edu.vn

c

√ √

√

với a > 0, b > 0, a ≠ b



√

 √  √

 (√ √ )

(2) Do a ≠ b nên bất đẳng thức (2) đúng

Vậy √ √

√

với a > 0, b > 0, a ≠ b

1,5

4

a Ta có: m2 + 2m + 3 = (m + 1)2 + 2 > 0 với mọi m Do đó hàm số y = (m2 + 2m + 3)x + m +1 luôn đồng biến trên R với mọi m.

1,0

b

√ √ | | | | Bảng xét dấu

x -2 2 x + 2 - 0 + + x - 2 - - 0 +

| | | | {

Đồ thị của hàm số

2,0

c

Gọi AH và BK là khoảng cách từ A và B đến đường thẳng d. Đường thằng đi qua A song song với Ox cắt d tại M(

; 8) Đường thằng đi qua B song song với Ox cắt d tại N(

; 2) Ta có AH = BK AM = BN





Vậy đường thẳng d cần tìm là

1,5

x

y

4

-4

-2 2 O 1

x

y d

N

M

2

8

2

4

K

H

B

A

O 1

DeThi.edu.vn

5

HV

0,5

a

Chứng minh: M, A, N thẳng hàng Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có:

̂ ̂ ̂ ̂ Mà ̂ ̂ (cùng phụ với ̂) Suy ra ̂ ̂ ( ) Ta lại có ̂ ̂ ( ) Từ (1) và (2) suy ra ̂ ̂ Vậy 3 điểm M, A, N thẳng hàng.

1,0

b

Xét ΔABC vuông tại A , AH  BC có AH = 30 (cm) Ta lại có BH = BM , CH = CN (t/c 2 tt cắt nhau) MN = 2 AH Tứ giác BMNC là hình thang SBCNM =

( )

( ) ( )

1,0

c

Đặt AK = x , KN = y Ta có ∽ ( )

⇒

⇒

⇔ {

⇔{

⇔{

Vậy AK = 78 cm, KN = 72 cm

1,5

d

Xét ΔCIK có KH ⊥CI , IN⊥CK và KH IN giao nhau tại A ⇒ A là trực tâm của ΔCIK ⇒ CA ⊥ IK

1,0

Học sinh làm cách khác đúng vẫn đạt điểm tối đa.

M

I

K

N A

H B C

DeThi.edu.vn