53 Đề thi học sinh giỏi môn Toán các tỉnh

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH HẢI DƯƠNG

Môn Toán lớp 9 (2003 - 2004) (Thời gian : 150 phút)

Bài 1 : (2,5 điểm) Giải phương trình : |xy - x - y + a| + |x2y2 + x2y + xy2 + xy - 4b| = 0

Bài 2 : (2,5 điểm) Hai phương trình : x2 + (a - 1)x + 1 = 0 ; x2 + (b + 1)x + c = 0 có nghiệm chung, đồng thời hai phương trình : x2 + x + a - 1 = 0 và x2 + cx + b + 1 = 0 cũng có nghiệm chung. Tính giá trị của biểu thức 2004a/(b + c). Bài 3 : (3,0 điểm) Cho hai đường tròn tâm O1 và tâm O2 cắt nhau tại A, B. Đường thẳng O1A cắt đường tròn tâm O2 tại D, đường thẳng O2A cắt đường tròn tâm O1 tại C. Qua A kẻ đường thẳng song song với CD cắt đường tròn tâm O1 tại M và cắt đường tròn tâm O2 tại N. Chứng minh rằng : 1) Năm điểm B ; C ; D ; O1 ; O2 nằm trên một đường tròn. 2) BC + BD = MN. Bài 4 : (2,0 điểm) Tìm các số thực x và y thỏa mãn x2 + y2 = 3 và x + y là một số nguyên.

DeThi.edu.vn

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH BÌNH THUẬN

Môn Toán lớp 9 (2003 - 2004) (Thời gian : 150 phút)

Bài 1 : (6 điểm) 1) Chứng minh rằng :

là số nguyên. 2) Tìm tất cả các số tự nhiên có 3 chữ số sao cho :

với n là số nguyên lớn hơn 2. Bài 2 : (6 điểm) 1) Giải phương trình :

2) Cho Parabol (P) : y = 1/4 x2 và đường thẳng (d) : y = 1/2 x + 2. a) Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục tọa độ Oxy. b) Gọi A, B là giao điểm của (P) và (d). Tìm điểm M trên cung AB của (P) sao cho diện tích tam giác MAB lớn nhất. c) Tìm điểm N trên trục hoành sao cho NA + NB ngắn nhất. Bài 3 : (8 điểm) 1) Cho đường tròn tâm O và dây cung BC không qua tâm O. Một điểm A chuyển động trên đường tròn (A khác B, C). Gọi M là trung điểm đoạn AC, H là chân đường vuông góc hạ từ M xuống đường thẳng AB. Chứng tỏ rằng H nằm trên một đường tròn cố định. 2) Cho 2 đường tròn (O, R) và (O’, R’) với R’ > R, cắt nhau tại 2 điểm A, B. Tia OA cắt đường tròn (O’) tại C và tia O’A cắt đường tròn (O) tại D. Tia BD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD tại E. So sánh độ dài các đoạn BC và BE.

DeThi.edu.vn

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI, HẢI DƯƠNG NĂM HỌC 2002 - 2003

Môn Toán - Dành cho các lớp chuyên tự nhiên

Thời gian làm bài 150 phút

Bài I (3,0 điểm) Cho biểu thức :

1) Rút gọn biểu thức A. 2) Tìm các số nguyên x để biểu thức A là một số nguyên. Bài II (3,0 điểm) 1) Gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình : x2 - (2m - 3)x + 1 - m = 0 Tìm giá trị của m để x12 + x22 + 3x1.x2. ( x1 + x2)đạt giá trị lớn nhất. 2) Cho a, b là các số hữu tỉ thỏa mãn: a2003 + b2003 = 2 a2003 . b2003 Chứng minh rằng phương trình : x2 + 2x + ab = 0 có hai nghiệm hữu tỉ. Bài III (3,0 điểm) 1) Cho tam giác cân ABC, góc A = 180o. Tính tỉ số BC/AB. 2) Cho hình quạt tròn giới hạn bởi cung tròn và hai bán kính OA, OB vuông góc với nhau. Gọi I là trung điểm của OB, phân giác góc AIO cắt OA tại D, qua D kẻ đường thẳng song song với OB cắt cung tròn ở C. Tính góc ACD . Bài IV (1,0 điểm) Chứng minh bất đẳng thức :

với a, b, c là các số thực bất kì.

DeThi.edu.vn

KÌ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ (THCS) TP HỒ CHÍ MINH

Năm học 2002 - 2003

* Môn thi : Toán * Thời gian : 150 phút Bài 1 : (4 điểm)

Cho phương trình : (2m - 1) x2 - 2mx + 1 = 0. a) Định m để phương trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1 ; 0) b) Định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa |x12 - x22| = 1. Bài 2 : (5 điểm)

Giải các phương trình và hệ phương trình sau đây :

Bài 3 : (3 điểm)

a) Cho a > c, b > c, c > 0. Chứng minh :

b) Cho x ≥ 1 , y ≥ 1. Chứng minh :

Bài 4 : (3 điểm) Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O), kẻ các tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Trên tia đối của tia BC lấy điểm D. Gọi E là giao điểm của DO và AC. Qua E vẽ tiếp tuyến thứ hai với đường tròn (O), tiếp tuyến này cắt đường thẳng AB ở K.Chứng minh bốn điểm D, B, O, K cùng thuộc một đường tròn. Bài 5 : (2 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có M là trung điểm của BC. Có hai đường thẳng lưu động và vuông góc với nhau tại M cắt các đoạn AB và AC lần lượt tại D và E. Xác định các vị trí của D và E để diện tích tam giác DME đạt giá trị nhỏ nhất. Bài 6 : (3 điểm) Cho hai đường …