Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Trường THCS Thuần Lộc (Có đáp án)

1

THCS THUẦN LỘC ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI Môn: Toán 9 Thời gian : 150 phút Đề thi gồm có: 01 trang

ĐỀ BÀI Câu 1: ( 4 điểm)

Cho biểu thức

a) Rút gọn biểu thức b) Tìm giá trị nhỏ nhất của Câu 2: ( 5 điểm)

1. Giải phương trình

2. Cho phương trình x3 – 5x2 + (2m + 5)x – 4m + 2 = 0, m là tham số.

a.Tìm điều kiện của m để phương trình có ba nghiệm phân biệt x1, x2, x3. b. Tìm giá trị của m để x12 + x22 + x32 = 11. Câu 3: ( 4 điểm)

a. Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn b. Cho là ba số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng:

Câu 4: ( 5 điểm)

Cho đường tròn (O), đường thẳng d cắt (O) tại hai điểm C và D. Từ điểm M tuỳ ý trên d kẻ các tiếp tuyếnMA và MB với (O) (A và B là các tiếp điểm). Gọi I là trung điểm của CD.

a) Chứng minh tứ giác MAIB nội tiếp. b) Các đường thẳng MO và AB cắt nhau tại H. Chứng minh H thuộc đường tròn ngoại tiếp COD. c) Chứng minh rằng đương thẳng AB luôn đi qua một điểm cố định khi M thay đổi trên đường thẳng d.

d) Chứng minh

Câu 5: ( 2 điểm)

Cho tam giác ABC có chu vi bằng 2. Ký hiệu a, b, c là độ dài ba cạnh của tam

giác. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

HẾT.

Họ và tên thí sinh:……………………………… Số báo danh:……….Phòng thi:…..

     

2

2 1 2 2. 4 2 A : 1, 2 . 1 1 2 2 2 2 2 2

a a a a a a a a a a a a

                

A.

A.

2 2 2 ( 2) 4 2 4. x x x x    

3 2 3 x 2x 3x 2 y .    

, , x y z 3 x y z   

1 3 3 3 x y z x x yz y y zx z z xy         



2

2 MD HA = MC HC

4 9 a b c S b c a c a b a b c        

DeThi.edu.vn

2

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM

Câu Nội dung Điểm

a)

1.0

0.75

0.75

b)

0.75

1 4đ

A đạt giá trị nhỏ nhất là khi và chỉ khi

Giải ra được

0.75

1. Đặt 0.5

ta được phương trình 0.5

Với t = -4 ta có

0.5

2.1

2đ

Với t =2 ta có

. Kết luận nghiệm của phương trình.

0.5

2a) x3 – 5x2 + (2m + 5)x – 4m + 2 = 0 (1)

0,75

2.2

3đ

Để (1) có ba nghiệm phân biệt thì pt (*) có hai nghiệm phân biệt khác 2 0,25

  2 2 2 2 2. 2. 2 A : 1 2 2 2. 2. 2 2

a a a a a a a a a a a a a

                     

  2 2 2 2 2 : 1 2 2 2 2

a a a a a a a a a

             

2 2 2 2 1 4 1 4. a a a a       

 

2 2 2 2 2 2 2 1 15 15 A 4 4 4 4 4 ; 2 4 4 a a a a a                   

15

4 2 1 4 2   a

2 17  a

  2 2 4 2 2 4 2 2 t x x t x x        

2 2 2 2 2 t x x  

2

2 4 4 2 8 0 2 2

t t t t t t

        

 

2

4 2 4 2 0 0 2 4 4 2 2 16 2 8 0

x x x x x x x x

                

2

0 2 2

x x x

       

 

2

4 2 4 2 0 0 2 4 2 2 2 4 2 2 0

x x x x x x x x

                 

2

0

3 1 3 1

x

x x

         

 

2

2

2 2 ( 3 2 1) 0

3 2 1 0(*)

x x x x m

x x m

            

DeThi.edu.vn

3

Điều kiện là 0,5

b) Ta có ba nghiệm phân biệt của phương trình (1) là x1 = 2; x2; x3 trong đó x2; x3 là hai nghiệm phân biệt của pt (*) 0,25

Khi đó x12 + x22 + x32 = 11 0,75

áp dụng định lý Vi-ét đối với pt (*) ta có (0,25 đ)

Vậy (**) (thoả mãn ĐK) Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.

0,5

a)Ta có (1) 0.5

(2) 0.5

Từ (1) và (2) ta có x < y < x+2 mà x, y nguyên suy ra y = x + 1 0.25

Thay y = x + 1 vào pt ban đầu và giải phương trình tìm được x = -1; từ đó tìm được hai cặp số (x, y) thỏa mãn bài toán là: (-1 ; 0)

0.5

3a 2đ

KL 0.25

Từ (*) Dấu “=” 0.25

Chỉ ra :

Suy ra : ( Áp dụng (*))

0.5

(1) 0.5

Tương tự : (2);

(3)

0.25

0,25

3b 2đ

Từ (1), (2) và (3)

Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1

0.25

0 13 8 0 3 13 4 6 2 1 0 2 3 2 8

m m m m                 

    2 2 2 3 2 3 2 3 2 3 4 2 11 2 7(**) x x x x x x x x         

2 3

2 3

3

. 2 1

x x

x x m

       9 2(2 1) 7 1 m m      

2 3 3 2 3 7 y x 2x 3x 2 2 x 0 x y 4 8                

2 3 3 2 9 15 (x 2) y 4x 9x 6 2x 0 y x 2 4 16                  

 

2 2 0 2 x yz x yz x yz      2x yz  

2 3 ( ) ( ) 2 ( ) x yz x y z x yz x yz x y z x yz x y z     …