Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2019-2020 - Sở giáo dục và đào tạo Lạng Sơn (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO

TẠO LẠNG SƠN

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2019 - 2020 Môn thi: Toán – lớp 9 cấp THCS Ngày thi: 18/5/2020 Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Tên : Trƣơng Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tƣ Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi.Điện thoại : 0708127776.Nguồn gốc : SƢU TẦM

Câu 1: (4,0 điểm).

Cho biểu thức

3 3

3 3 2 1 1 : ; 0; 0 a b a a b b A a b a b ab a b ab

              

a.Rút gọn A b.Cho ab=18 tìm a,b để A min và tìm min đó Câu 2: (4,0 điểm).Cho phƣơng trình 2 x x 3 0 m m    a.Chứng minh phƣơng trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

b.Tìm m để phƣơng trình có 2 nghiệm phân biệt 1 2 ; x x thỏa 2 2 1 2

1 1 2 3 x x  

Câu 3: (4,0 điểm). a.Cho a,b,c,d là các số thực dƣơng thỏa a+b+c+d=4.Chứng minh

2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 a b c d        

b.Cho hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là 2 và 4. Đặt vào bên trong hình chữ nhật đó 17 điểm phân biệt bất kì. Chứng minh rằng bao giờ cũng tìm đƣợc ít nhất ba điểm trong số 17 điểm đó, tạo thành ba đỉnh của một tam giác có diện tích bé hơn 1. Câu 4: (6,0 điểm).Cho hình thang vuông ABCD có gócA = gócD = 90°, tia phân giác trong của góc C đi qua trung điểm O của AD. a) Chứng minh rằng BC tiếp xúc với đƣờng tròn (O;OA) tại một điểm E. b) Cho AD = 2a. Tính tích của AB và CD theo a. c) Qua C, vẽ cát tuyến CD, 1 nằm giữa C và J, với đƣờng tròn (O;OA). Vẽ dây cung DK song song với L. Xác định vị trí của điểm J để ∆CKJ có diện tích lớn nhất. Câu 5: (2,0 điểm). a.Tìm các số nguyên dƣơng x, y thỏa mãn phƣơng trình:

2 xy + 2xy + x − 16y − 32 = 0. b.Chứng minh không tồn tại x,y,z thỏa 2 2 2 2 98z 111...1 x y    có 666 chữ số 1 Lời giải

DeThi.edu.vn

Câu 1: (4,0 điểm).

1.Cho biểu thức

3 3

3 3 2 1 1 : ; 0; 0 a b a a b b A a b a b ab a b ab

              

a.Rút gọn A b.Cho ab=18 tìm a,b để A min và tìm min đó

Lời giải

a.Ta có

3 3

3 3 2 1 1 : a b a a b b a b A a b ab ab a b ab

              

b.Với ab=18 thì

3 3

3 3 2 1 1 2 : 9 3 a b a a b b a b A a b a b ab ab a b ab

                  

Câu 2: (4,0 điểm).Cho phƣơng trình 2 x x 3 0 m m    a.Chứng minh phƣơng trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

b.Tìm m để phƣơng trình có 2 nghiệm phân biệt 1 2 ; x x thỏa 2 2 1 2

1 1 2 3 x x  

Lời giải a.Ta có 2 =(m-2) 8 0   nên phƣơng trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m. b.Ta có m khác 3.Ta có

2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2

0 ( ) . 1 1 2 2 2( 3) 2

6 3 . 3 ( 3) 3

m x x x x m m

m x x x x m

               

Câu 3: (4,0 điểm). a.Cho a,b,c,d là các số thực dƣơng thỏa a+b+c+d=4.Chứng minh

2 2 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 A a b c d         

b.Cho hình chữ nhật có độ dài hai cạnh là 2 và 4. Đặt vào bên trong hình chữ nhật đó 17 điểm phân biệt bất kì. Chứng minh rằng bao giờ cũng tìm đƣợc ít nhất ba điểm trong số 17 điểm đó, tạo thành ba đỉnh của một tam giác có diện tích bé hơn 1.

Lời giải a.Ta có

2

2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 ; 1 ; 1 ; 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 a a a b c d a a a b c d              

4 2 1 2 a b c d A a b c d           .

2.Ta chia hình chữ nhật cạnh 2 và 4 thành 8 hình vuông cạnh 1.Theo nguyên lí dichlet tồn tại 1 hình vuông chứa 3 điểm .Vì 3 điểm bất kỳ không thẳng hàng nên tạo thành 1 tam giác .Vì hình vuông cạnh 1 nên diện tích là 1 chứa tam giác nên diẹn tích tam giác nhỏ hơn diện tích hình vuông

DeThi.edu.vn