Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 - Sở giáo dục và đào tạo Trà Vinh (Có đáp án)

SGD&ĐT TRÀ VINH

* Đề thi chính thức

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2018-2019

MÔN THI: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Học sinh làm tất cả các bài toán sau đây:

Bài 1.(4.0 điểm). Giải các phương trình

1/ 2/

GIẢI

1/ ĐKXĐ:

Đặt ta có hpt

Do đó:

Đặt ta có pt:

Với thì

Vậy pt có một nghiệm x=

2/ Tự giải

Bài 2.(4.0 điểm). Giải các hệ phương trình

1/ 2/

GIẢI

1 1 1 x x x x     1 4 20 5 9 45 4 5 x x x      

1 x 

1 1 1 ; a b x x x    

2 2 2 2 2

1 ( ) 1 2 1

a b x x x a x a x a x a b x

              

2

4 3 2 2

2

2

2

1 1 2 1 1 2 2 1 0 2 1 0 2

1 1 ( ) 2( ) 1 0

x x x x x x x x x x x x

x x x x

            

    

2 2

2 1 1 2 t x t x x x       2 2 1 0 1 t t t   

1 t 

1 2

2

1 5 1 2 1 1 0

1 5 ( ) 2

x x x x x

x loai

        

   

1 5 2 

2 2

0

8

x xy y

x y

       

1 1 1 2 1 2 3 1 2 1

x y

x y

           

DeThi.edu.vn

1/

thế vào (1) ta được:

Vây hpt có ba nghiệm: ( ; ), ( ; ) và (-2;-2)

2/ Tự giải

Bài 3.(3.0 điểm). Cho phương trình: (1) (m là tham số). Giả sử phương trình (1) có hai nghiệm không âm ( )Tìm giá trị của m để nghiệm lớn

nhất của phương trình đạt giá trị lớn nhất.

GIẢI:

Phương trình: có hai nghiệm không âm

Do nên . Mà nên x2 đạt GTLN x2=m

Hay

Vậy khi thì GTLN của x2 là

Bài 4.(3.0 điểm). Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác ABC. Giả sử phương trình: có nghiệm kép. Tính số đo các góc của tam giác ABC.

GIẢI:

3x2-2(a+b+c)+ab+bc+ca=0

’=[-(a+b+c)]2-3(ab+bc+ca)=a2+b2+c2-ab-bc-ca

Do phương trình có nghiệm kép nên ’=0 a2+b2+c2-ab-bc-ca=0

2 2 2 2 2 0(1) 2 2 2 0 ( ) 2( ) 8 0 8(2) 8

x xy y x xy y x y x y x y x y

                      

2 2

4 4

x y y x

x y y x

              

2

2

1 3 2 2 0

1 3 4 4 0

2

x x x

x x x

x

                 

1 3  1 3  1 3  1 3 

2 2 2 2 2 0 x mx m    

1 2 0 x x  

2 2 2 2 2 0 x mx m    

/ 2

1 2

2 1 2

0 4 0 2 2

0 0 0 2 2

. 0 2 2 2 0 2

m m

x x m m m

x x m m m

                                     

1 2 0 x x  

2

2

4 2 m m x     1 2 x x m   

2

2 ˆ 2( ) 4 2 2 2( )

m nhan m m m m

m loai

        

 

2 m  2

( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 x a x b x b x c x c x a         

( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 x a x b x b x c x c x a          



 

DeThi.edu.vn

2a2+2b2+2c2-2ab2-bc-2ca=0 (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0

Vậy ABC đều nên

Bài 5.(2.0 điểm). Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x, y, z thỏa mãn

GIẢI

Nếu x,y,z chẵn thì x3,y3,z3 chẵn

Nếu x,y,z lẻ thì x3,y3,z3 lẻ

Suy ra x+y+z và x3+y3+z3 cùng tính chẵn, lẻ nên (x3+y3+z3)-( x+y+z) luôn chẵn

Do đó (x3+y3+z3)-( x+y+z)=2017 là vô lí

Vậy không tồn tại các số nguyên x, y, z thỏa mãn

Bài 6.(4.0 điểm). Cho tam giác ABC vuông cân tại A, CM là đường trung tuyến. Từ A vẽ

đường thẳng vuông góc với CM cắt BC ở H. Tính tỉ số .

GIẢI:

Kẻ HK AB tại K,

Ta có HK//AC (cùng AB)

(định lí Ta-let)

Mà BHK vuông cân tại K nên BK=HK

(1)

Mà AKH CAM (g-g)

(2)

Từ (1) và (2)

-----Hết-----

 

0

0

0

a b

b c a b c

c a

             

0 ˆ ˆ ˆ 60 A B C   

3 3 3 2017 x y z x y z      

BH HC





BH BK HC KA  



BH HK HC KA  

 

1 2 HK MA MA KA AC AB    

1 2 BH HC  

M

H

K

C

B A

DeThi.edu.vn