Đề thi chọn học sinh giỏi THCS cấp thành phố môn Toán Lớp 9 - Năm học 2019-2020 - Phòng giáo dục và đào tạo TP. Buôn Ma Thuột (Có đáp án)

G GGVVV::: N NNggguuuyyyễễễnnn D DDưưươơơnnnggg Hả Hả Hảiii ––– TTTH HHC CCSSS N NNggguuuyyyễễễnnn C CChhhííí TTThhhaaannnhhh ––– BBBM MMTTT ––– Đ ĐĐăăăkkk LLLăăăkkk (((SSSưưưuuu tttầầầm mm và và và gggiiiớớớiii ttthhhiiiệệệuuu))) tttrrraaannnggg 111

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TP BUÔN MA THUỘT

--------- ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2019-2020

MÔN: TOÁN Thời gian: 150 phút (không tính giao đề)

Ngày thi: 09/01/2020 Bài 1: (3,0 điểm)

Cho biểu thức 2 2 2 1 1 2020 3 1 2 1 2 1 1 1 3 3

M x x x

                                  

.

a) Rút gọn M . b) Tìm giá trị lớn nhất của M .

Bài 2: (5,0 điểm)

a) Chứng minh rằng đa thức 

5 4 3 2 3 6 3 9 6 P x x x x x x       không thể có nghiệm là số nguyên.

b) Đa thức  P x chia cho   1 x  được số dư bằng 4, chia cho   3 x  được số dư bằng 14.

Tìm số dư của phép chia  P x cho    1 3 x x   .

c) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau:   5 10 2 x y z t xyzt      .

d) Cho ,a b là hai số thực không âm thỏa mãn 2 2 2 a b   , hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu

thức     3 2 3 2 M a b a b b a b a     .

Bài 3: (4,0 điểm) Cho hàm số   2 1 y m x m     a) Tìm điều kiện của m để hàm số nghịch biến trên tập số thực. b) Tìm điều kiện của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3. c) Tìm m để đồ thị của các hàm số 2; 2 1 y x y x    và   2 1 y m x m     đồng quy.

d) Tìm m để đồ thị hàm số tạo với trục tung và trục hoành một tam giác có diện tích bằng 2.

Bài 4: (2,0 điểm)

Cho hình vuông ABCD có cạnh a. Điểm M di động trên đường chéo AC. Kẻ ME  AB, MF  BC (E  AB, F  BC). Xác định vị trí của điểm M để diện tích tam giác DEF đạt giá trị nhỏ nhất.

Bài 5: (6,0 điểm)

Cho hai đường đường tròn   ; O R và   ; O r  tiếp xúc ngoài tại B. Tiếp tuyến chung ngoài

AD cắt đường nối tâm tại M,      , A O D O   . Tiếp tuyến chung tại B cắt AD tại P. Gọi H là

hình chiếu của A lên BC, E là giao điểm của PC và AH, C là điểm đối xứng với B qua O.

a) Chứng minh EH EA  ; b) Tính AH theo R và OP d  ; c) Tính AD theo R và r ; d) Giả sử 4 AD DM cm   , tính R và r ; e) Gọi   1 1 ; O R tiếp xúc với AD đồng thời tiếp xúc ngoài với   ; O R và   ; O r  . Chứng

minh rằng:

1

1 1 1 R R r   .

---------------- Hết ----------------

DeThi.edu.vn

G GGVVV::: N NNggguuuyyyễễễnnn D DDưưươơơnnnggg Hả Hả Hảiii ––– TTTH HHC CCSSS N NNggguuuyyyễễễnnn C CChhhííí TTThhhaaannnhhh ––– BBBM MMTTT ––– Đ ĐĐăăăkkk LLLăăăkkk (((SSSưưưuuu tttầầầm mm và và và gggiiiớớớiii ttthhhiiiệệệuuu))) tttrrraaannnggg 222

BÀI GIẢI SƠ LƯỢC Bài 1: (3,0 điểm) a) Rút gọn M ( 0 x  )

      

2 2

2 2

2 1 1 2020 2 3 3 2020 3 1 3 1 4 4 4 4 4 4 2 1 2 1 1 1 3 3

2 1 1010 1 1 1010 2020 2020 1 1 1 1 1 1 1 1

M x x x x x x x x

x

x x x x x x x x x x x x x x

                                                 

                           

b) Tìm giá trị lớn nhất của M .

Vì 2

2

2020 0 1 1 2020 1 x x x M x x         . Dấu “=” xảy ra 0 x   (TMĐK).

Vậy 2020 MaxM  khi 0 x 

Bài 2: (5,0 điểm) a) Giả sử   x a a Z   là nghiệm nguyên của  P x 

5 4 3 2 3 6 3 9 6 0 P a a a a a a        

+) Nếu 3 a thì    5 4 3 2 3 6 3 9 9; 6 9 9 a a a a a P a           (mâu thuẩn, vì  0 9 P a   )

+) Nếu 3 a  thì    4 3 2 5 3 6 3 9 6 3; 3 3 a a a a a P a            (mâu thuẩn, vì  0 3 P a   )

Vậy  P x không thể có nghiệm là số nguyên. b) Vì  P x chia cho   1 x  được số dư bằng 4, nên      1 4 1 4 P x x E x P       Vì  P x chia cho   3 x  được số dư bằng 14, nên      3 14 3 14 P x x F x P      

Giả sử       

1 4 5 1 3 3 3 3 14 1

P a b a b a P x x x Q x ax b P a b a b b

                             

Vậy dư trong phép chia  P x cho    1 3 x x   là 5 1 x . …