Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2010-2011 - Sở giáo dục và đào tạo Thanh Hóa (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ Đề chính thức Số báo danh

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH Năm học 2010- 2011 Môn thi: Toán Lớp: 9 THCS Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 24/03/2011 (Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu). Câu I. (5,0 điểm). 1) Cho phương trình: 2 2 2 1 0. x mx m − + −= Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm

1 2 , x x với mọi m. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 2 2 2 1 2 1 2

2 3 2(1 ) x x P x x x x + = + + + khi m thay đổi.

2) (a). Cho ba số hữu tỉ a, b, c thoả mãn 1 1 1. a b c + = Chứng minh rằng

2 2 2 A a b c = + +

là số hữu tỉ. (b). Cho ba số hữu tỉ , , x y z đôi một phân biệt. Chứng minh rằng:

2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) B x y y z z x = + + − − − là số hữu tỉ.

Câu II. (5,0 điểm).1) Giải phương trình:

2 2 10. 1 1 9 x x x x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ − + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2) Giải hệ phương trình:

2

2 3 2 3

1 1 1 4

1 4.

x x y y

x x x y y y

⎧ ⎛ ⎞ + + + = ⎪ ⎜ ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎨ ⎪ + + + = ⎪⎩

Câu III. (2,0 điểm). Cho tam giác đều ABC, các điểm D, E lần lượt thuộc các cạnh AC, AB, sao cho BD, CE cắt nhau tại P và diện tích tứ giác ADPE bằng diện tích tam giác BPC. Tính ฀ . BPE Câu IV. (4,0 điểm). Cho đường tròn tâm O và dây cung AB cố định (O AB ∉ ). P là điểm di động trên đoạn thẳng AB ( , P A B ≠ và P khác trung điểm AB). Đường tròn tâm C đi qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Đường tròn tâm D đi qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) tại B. Hai đường tròn (C) và (D) cắt nhau tại N ( N P ≠ ). 1) Chứng minh rằng ฀ ฀ ANP BNP = và bốn điểm O, D, C, N cùng nằm trên một đường tròn. 2) Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn ON luôn đi qua điểm cố định khi P di động. Câu V. (4,0 điểm). 1) Cho 1 2 45 , ,...., a a a là 45 số tự nhiên dương thoả mãn 1 2 45 .... 130. a a a < < < ≤ Đặt

1 , ( 1,2,...,44). j j j d a a j + = − = Chứng minh rằng ít nhất một trong 44 hiệu j d xuất hiện ít nhất 10 lần.

2) Cho ba số dương , , a b c thoả mãn: 2 2 2 2 2 2 2011. a b b c c a + + + + + =

Chứng minh rằng:

2 2 2 1 2011. 2 2 a b c b c c a a b + + ≥ + + +

............................................................. HẾT ........................................................ Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/

DeThi.edu.vn

SỞ GD & ĐT THANH HOÁ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC (Gồm có 3 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 2010 - 2011 MÔN THI: TOÁN LỚP: 9 THCS Ngày thi: 24 - 3 - 2011

Câu Ý Hướng dẫn chấm Điểm Ta có 2 ' ( 1) 0, m m Δ = − ≥ ∀ nên phương trình có hai nghiệm với mọi m. 0,5

Theo định lí viet, ta có 1 2 1 2 2 , 2 1 x x m x x m + = = −, suy ra 2 4 1 4 2 m P m + = + 1,0

1) 2,5đ

2

2 (2 1) 1 1. 1, 4 2 m Max P m − = − ≤ = + khi 1. 2 m = 1,0

Từ giả thiết suy ra 2 2 2 0 ab bc ca − − = 0,5 2a) 1,5đ Suy ra 2 ( ) A a b c a b c = + − = + − là số hữu tỉ 1,0

Đặt 1 1 1 , , a b c x y y z x z = = = − − − suy ra 1 1 1. a b c + = 0,5

Câu I 6 đ

2b) 1,0đ

Áp dụng câu 2a) suy ra 2 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) B x y y z z x = + + − − − là số hữu tỉ. 0,5

Đk: 1. x ≠± Phương trình tương đương với

2 2 2 2 2

2 2 2 10 2 2 10 2 0. 1 1 1 9 1 1 9 x x x x x x x x x x ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + − = ⇔ − − = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + − − − − ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

1,0

Đặt

2

2 2 , 1 x t x = − ta được phương trình 2 10 5 0 9 3 t t t −− = ⇔= hoặc 2 3 t − = 0,5

Với 5, 3 t = ta được

2

2 2 5 1 3 x x = − (vô nghiệm) 0,5

1) 2,5đ

Với 2 , 3 t = − ta được

2

2 2 2 1 3 x x = − − suy ra 1. 2 x = ± 0,5

Đk: 0. y ≠ Hệ tương đương với

2 2

3 3

1 1 4

1 1 4.

x x y y

x x x y y y

⎧ + + + = ⎪⎪⎨ ⎛ ⎞ ⎪ + + + = ⎜ ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎩

0,5

Câu II 6 đ

2) 2,5đ

Đặt

1

,

u x y x v y

⎧= + ⎪⎪⎨ ⎪= ⎪⎩

ta được hệ

2 2

3 2 2 4 4 4 0 2 1. 2 4 4 2

u u v u u u v u uv u u v

⎧ ⎧ + − = − + = = ⎧ ⎪ ⎪ ⇔ ⇔ ⎨ ⎨ ⎨= − = + − = ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ⎩

1,0

https://nguyenthienhuongvp77.violet.vn/

DeThi.edu.vn