Đề thi chọn học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2019-2020 - Sở giáo dục và đào tạo Hà Nam (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO

TẠO HÀ NAM

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS

NĂM HỌC 2019-2020

Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài 150 phút

Tên : Trƣơng Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tƣ Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi.Điện thoại : 0708127776.Nguồn gốc : SƢU TẦM

Câu 1(4,0 điểm) Cho biểu thức 10 4 5 8 5 5 1 5 5 8 5 2 5 4 2 5 x x x x P

x x x x x

                    

với

4 0, . 5 x x  

a)Rút gọn biểu thức . P b)Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên. Câu 2(2,0điểm) Cho hai đƣờng thẳng

: 3 d y và 1 1 1 2018 2019 2020 : 1 1 1 1 d y x m m m m m m                  (m là tham số). Tìm điều

kiện của tham số m để hai đƣờng thẳng , d dcắt nhau. Gọi A là giao điểm của hai đƣờng thẳng d và , d tìm m để độ dài đoạn thẳng OA bằng 5. Câu 3(4,0 điểm)

a)Giải phƣơng trình

2

2

2 2 2 2 4. 2 10

x x x x x x

      

b)Giải hệ phƣơng trình    

    

2

2 2 2 1

1 2 .

x y xy xy

x y xy x y

         

Câu 4(1,5 điểm) Cho hai số nguyên dƣơng m và n thỏa mãn m là ƣớc của 2 2 . n Chứng minh rằng 2 n m  không là số chính phƣơng. Câu 5(7,0 điểm) 1)Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đƣờng tròn   ; , O R các đƣờng cao , , AD BE CF của tam giác ABC cắt nhau tại H . Đƣờng thẳng AD cắt   ; O R tại điểm thứ hai là

. M Đƣờng thẳng qua H và vuông góc với OA cắt BC tại K.

a)Chứng minh . BAH OAC  b)Chứng minh đƣờng thẳng KM là tiếp tuyến của   ; . O R

DeThi.edu.vn

c)Giả sử điểm A cố định, các điểm B, C thay đổi trên đƣờng tròn   ; O R thỏa mãn 2 . 3 . AB AC R  Khi tam giác ABC có diện tích lớn nhất, tính độ dài đoạn thẳng . OF 2)Cho tam giác đều ABC nội tiếp đƣờng tròn   ; O R , M là một điểm bất kì trên cung nhỏ BC (M không trùng với B và C). Đƣờng tròn   ; O R   (với R R  ) tiếp xúc trong với đƣờng tròn   ; O R tại điểm M. Các đoạn thẳng , , MA MB MC lần lƣợt cắt đƣờng tròn   '; O Rtại điểm thứ hai là , , . D E F Từ , , A B C kẻ các tiếp tuyến

, , AI BJ CK với đƣờng tròn   ; O R  , trong đó , , I J K là các tiếp điểm. Chứng minh rằng DE song song với AB và . AI BJ CK   Câu 6(1,5 điểm) Cho các số dƣơng , , x y z thỏa mãn 1. xyz  Chứng minh rằng

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1. 2 3 2 3 2 3 2 x y y z z x x x y y y y z z z z x x          Lời giải

Câu 1(4,0 điểm) Cho biểu thức 10 4 5 8 5 5 1 5 5 8 5 2 5 4 2 5 x x x x P

x x x x x

                    

với

4 0, . 5 x x  

a)Rút gọn biểu thức . P b)Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên.

Lời giải

a.Đặt 5x 0; 2 a a    ta đƣợc

2 2a 3 5x 2 5x 3 2 5x 2 a P a        

b.Ta có

2 2a 3 5x 2 5x 3 5x 1 2;5x 1 0 ;5 1 ; 5 2 2 5x 2 5x 2 a P x x P x a                  .

Lại có 5 2 1 3 5x 5 2 (3) 5 5x 2 5 2 3

x P x U x x

               

.

Câu 2(2,0điểm) Cho hai đƣờng thẳng

: 3 d y và 1 1 1 2018 2019 2020 : 1 1 1 1 d y x m m m m m m                  (m là tham số). Tìm điều

kiện của tham số m để hai đƣờng thẳng , d dcắt nhau. Gọi A là giao điểm của hai đƣờng thẳng d và , d tìm m để độ dài đoạn thẳng OA bằng 5.

DeThi.edu.vn