Đề thi học sinh giỏi cấp thành phố môn Toán Lớp 9 - Năm học 2016-2017 - Phòng giáo dục và đào tạo thành phố Bắc Giang (Có đáp án)

PHÒNG GD&ĐT

TP. BẮC GIANG

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ

NĂM HỌC 2016-2017

Môn: Toán lớp 9 Thời gian làm bài: 150 phút

Bài 1: (5 điểm)

a. Cho biểu thức M= với a, b > 0 và a b

Rút gọi M và tính giá trị biểu thức M biết

b. Tìm các số nguyên a, b thoả mãn

c. Cho a, b, c thỏa mãn ; ;

Tính giá trị biểu thức H=

Bài 2: (4,5 điểm)

a. Tính giá trị của biểu thức N=

b. Cho a, b là số hữu tỉ thỏa mãn +

Chứng minh là số hữu tỉ

c. Giải phương trình Bài 3: (3,5 điểm) a. Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thoả mãn

b. Cho a, b, c>0 thỏa mãn abc=1 . Chứng minh

Bài 4: (6 điểm) Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa

nửa đường tròn vẽ tiếp tuyến Ax với nửa đường tròn, trên Ax lấy M sao cho AM > R. Từ M vẽ

tiếp tuyến MC với nửa đường tròn, từ C vẽ CH vuông góc với AB, CE vuông góc với AM.

Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt BC tại N. Đường thẳng MO cắt CE, CA, CH lần lượt

tại Q, K, P.

a. Chứng minh MNCO là hình thang cân

b. MB cắt CH tại I. Chứng minh KI son song với AB

c. Gọi G và F lần lượt là trung điểm của AH và AE. Chứng minh PG vuông góc với QF

Bài 5: (1 điểm) Tìm số nguyên dương n lớn nhất để A= 427 + 42016 + 4n là số chính phương

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

Họ tên thí sinh..........................................................................SBD:................................

a a b b a b a b a b b a      



   1 1 2 1 a b ab    

5 4 18 2 3 2 2 a b a b      7 a b c    23 a b c    3 abc  1 1 1 6 6 6 ab c bc a ca b        

4 3 4 3 27 10 2 4 13

        

2 2 2 2 a b a b    2 (1 ) 4 ab ab  

1 ab 

  2 4 2 1 1 x x x x     

5 2 2 1 x y xy    1 1 1 3 2 2 2 2 ab a bc b ca c        

DeThi.edu.vn

HƯỚNG DẪN CHẤM HSG CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2016-207

MÔN: TOÁN LỚP 9

Câu Nội Dung Điểm Bài 1 4 đ a/ 1,5đ -Rút gọn M= với a, b>0 và a b

-Ta có

+ Nếu a>b>0

+ nếu 0<a<b

0,75

0,25

0,25

0,25

b/ 1,5đ

-Nếu

Vì a, b nguyên nên Vô lý vì là số vô tỉ

-Vây ta có

Thay a= vào t

a có

Ta có b=0 (loại) ; b=2 (thoã mãm) , vậy a=3. Kết luận

0,5

0,25

0,75

ab a b 



  

 

2 2

1 1 2 1 1 2 1

( ) 1 1

a b ab ab a b ab

ab ab ab a b

a b a b

        

        

0; 0 0

1 1

ab a b a b ab

a b

ab ab ab M a b a b a b

        

       

0; 0 0

1 1

ab a b a b ab

a b

ab ab ab M a b a b a b

        

         

   

 

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 2

5 4 18 2 3 2 2

5 5 2 4 4 2 18 2 2 3 2

5 5 2 4 4 2 18 2 36 2 3 6

18 2 36 2 9 2 3 6

18 36 9 2 3 6

a b a b

a b a b a b a b

a b b a b a

a b b a b a

    

       

       

     

     

2 2 2 2

2 2 3 6 18 36 9 0 2 18 36 9 a b a a b b a b b         

2 2

2 2 3 6 2 18 36 9 a b a Q Q a b b         2

2 2 2 2 2 2

2 2

2 2

3 3 6 18 36 9 0 3 18 36 9 0 2 2 3 6 0 3 6

a b b a b b a b b a b a b a a b a

                          3 2 b 2 2 3 6 0 a b a   

2 2 2 2 9 3 3 6 0 27 24 6 0 3 ( 2) 0 4 2 b b b b b b b b           

DeThi.edu.vn