Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2019-2020 - Sở giáo dục và đào tạo Bắc Giang

Phạm Văn Đức

UBND TỈNH BẮC GIANG SỞGIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ————————–

ĐỀCHÍNH THỨC

ĐỀTHI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2019-2020 Môn : Toán 9 Thời gian làm bài : 150 phút —————————————

Bài số1(5 điểm).

1. Cho biểu thức P = √x √x−2 + √x x−4

: 3

x − 6−x x√x+2x

với x > 0,x ̸= 4.

a. Rút gọn P

b. Tìm tất cảcác giá trịcủa x đểP = 9.

2. Tìm tất cảcác giá trịcủa tham sốm đểphương trình (x2 + 2x)(x2 + 2x −2 −m)+ m = 0 có 4 nghiệm phân biệt

Bài số2(5 điểm).

1. Giải phương trình √

2x+5−√x+2 = x+3

5

2. Giải hệphương trình

( x4 +(x−y)2 = 2x3y+y2 √x+1+√4−2y+ p

4+2(x+y)−x2 = 5

Bài số3(3 điểm).

1. Tìm tất cảcác cặp sốnguyên (x;y) thỏa mãn x2 +2x2y+1 = y2

2. Tìm sốnguyên dương nhỏnhất có 4 chữsốtận cùng là 2020 và chia hết cho 2019

Bài số4(6 điểm). Cho 3 điểm A,B,C thẳng hàng (B nằm giữa A,C). Trên cùng nửa mặt phẳng bờlà AC vẽ2 nửa đường tròn đường kính AB,AC. Trên nửa đường tròn đường kính AB lấy điểm M khác A,B. Qua M kẻđường thẳng vuông góc với AB, cắt AB tại H và cắt nửa đường tròn đường kính AC tại N. Gọi P là giao điểm của BM và CN. Đường thẳng qua B vuông góc với AB cắt đường tròn đường kính AC tại K. Q là giao điểm của KN và BP.

1. Chứng minh d APB = d ACP và AP2 = AB.AC.

2. Chứng minh AQ là phân giác của d PAK

3. Cho AC = 7cm,AB = 4cm. Tính độdài PK khi PK là tiếp tuyến của đường tròn đường kính AC.

Bài số5(1 điểm). Cho 3 sốdương a,b,c thay đổi thỏa mãn 16(a+b+c) ≥1

a + 1

b + 1

c. Chứng minh rằng

1 (2a+b+c)2 + 1 (2b+c+a)2 + 1 (2c+a+b)2 ≤3

—–HẾT—– (Đềbài gồm 1 trang)

1 DeThi.edu.vn

Phạm Văn Đức

Bài số 1 DUC PV 5 điểm

DUC PV ■

1. Cho biểu thức P = √x √x−2 + √x x−4

: 3

x − 6−x x√x+2x

với x > 0,x ̸= 4.

a. Rút gọn P

b. Tìm tất cảcác giá trịcủa x đểP = 9.

2. Tìm tất cảcác giá trịcủa tham sốm đểphương trình (x2+2x)(x2+2x−2−m)+m = 0 có 4 nghiệm phân biệt

1. a. Rút gọn được P = x √x−2 b.

P = 9 ⇔ x √x−2 = 9 ⇔ √x = 3 √x = 6 ⇔ x = 9 x = 36

2. Đặt t = x2 +2x thì phương trình đã cho trởthành

t(t −2−m)+m = 0 ⇔f(t) = t2 −(2+m)t +m = 0 (∗)

Phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt ⇔(∗) có 2 nghiệm phân biệt đều lớn hơn −1. Điều này xảy ra khi và chỉkhi    

  

∆= (2+m)2 −4m > 0 f(−1) > 0 S 2 = m+2

2 > −1

⇔

( 2m+3 > 0 m+4 > 0 ⇔m > −3

2

Bài số 2 DUC PV 5 điểm

DUC PV ■

1. Giải phương trình √

2x+5−√x+2 = x+3

5

2. Giải hệphương trình

( x4 +(x−y)2 = 2x3y+y2 √x+1+√4−2y+ p

4+2(x+y)−x2 = 5

1.

Đặt

( a = √

2x+5 b = √x+2 (a,b ≥0) thì phương trình đã cho trởthành :

a−b = a2 −b2

5 ⇔ a−b = 0 a+b = 5

• Với a−b = 0 ta có x = −3 (không thỏa mãn điều kiện xác định)

• Với a+b = 5 ta có √

2x+5+ √

x+2 = 5 ⇔x = 2 (thỏa mãn)

2 DeThi.edu.vn

Phạm Văn Đức

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 2 2. ( x4 +(x−y)2 = 2x3y+y2 (1) √x+1+√4−2y+ p

4+2(x+y)−x2 = 5 (2)

Biến đổi (1) ta có :

(1) ⇔x(x−2y)(x2 +1) = 0 ⇔ x = 0 x−2y = 0

• Với x = 0, thay vào (2) ta được p

4−2y+ p

4+2y = 4 ⇔y = 0 (Đánh giá vếtrái bằng Cauchy-Schwarz)

• Với x = 2y, thay vào (2) ta được p

2y+1+ p

4−2y+ p

4+6y−4y2 = 5 (∗∗)

Đặt

( a = √2y+1 b = √4−2y (a,b ≥0) thì (∗∗) trởthành a+b+ab = 5. Đồng thời ta có a2+b2 = 5.

Giải hệ

( a+b+ab = 5 a2 +b2 = 5 ta được

( a+b = 3 ab = 2 ⇔ a = 1,b = 2 a = 2,b = 1

Xét từng trường hợp ta thu được y = 0 và y = 3

2. Từđó, hệđã cho có các nghiệm là (x,y) ∈ (0,0); 3

2,3

Bài số 3 DUC PV 3 điểm

DUC PV ■

1. Tìm tất cảcác cặp sốnguyên (x;y) thỏa mãn x2 +2x2y+1 = y2

2. Tìm sốnguyên dương nhỏnhất có 4 chữsốtận cùng là 2020 và chia hết cho 2019

1.

x2 +2x2y+1 = y2 ⇔4x4 +4x2 +4 = 4(y2 −2x2y+x4)

⇔(2x2 +1)2 +3 = (2y−2x2)2

⇔(2y−4x2 −1)(2y+1) = 3

Đến đây xét các trường hợp với đểý rằng 2y+1 > 2y−4x2 −1 ta tìm được (x,y) = (0,1) 2. Gọi sốcần tìm là x2020. Theo giảthiết ta có

x.104 +1 ≡0(mod 2019) ⇔1924x ≡2018(mod 2019) ⇔x = 2019k +2018

1924

Ta phải tìm sốtựnhiên k nhỏnhất thỏa mãn 2019k +2018 ... 1924 ⇔95k +94 ... 1924 Nhận thấy 1924 = 4.13.37 nên cần có    

  

95k +94 ... 4

95k +94 ... 13

95k +94 ... 37

⇔

  

 

k ≡2(mod 4) (∗1) k ≡9(mod 13) (∗2) k ≡29(mod 37) …