Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Sở giáo dục và đào tạo Quảng Nam (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH

Năm học 2017 – 2018

Môn thi : TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi : 17/4/2018

Câu 1. (5,0 điểm)

a) Cho biểu thức với .

Rút gọn biểu thức A. Tìm các số nguyên để là số nguyên. b) Cho ba số thực thỏa Chứng minh :

.

Câu 2. (4,0 điểm)

a) Cho phương trình . Tìm để phương trình có hai

nghiệm phân biệt trong đó một nghiệm bằng bình phương nghiệm còn lại.

b) Giải phương trình . Câu 3. (4,0 điểm)

a) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên thì không thể là lập phương của một số tự nhiên.

b) Cho số nguyên tố và hai số nguyên dương , sao cho

. Chứng minh chia hết cho 12 và là số chính phương. Câu 4. (3,5 điểm)

Cho hình vuông cạnh bằng 4 cm. là điểm nằm trên cạnh ( khác và ). Một đường thẳng qua , vuông góc với đường thẳng tại và cắt đường thẳng tại Gọi là giao điểm của và . a) Chứng minh tứ giác KDCE nội tiếp đường tròn và ba điểm thẳng hàng.

b) Khi là trung điểm cạnh , tính diện tích tứ giác . Câu 5. (3,5 điểm) Cho hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm . Tiếp tuyến tại của

(C2) cắt tại khác ). Tiếp tuyến tại của cắt tại điểm

( khác ). Đường thẳng cắt tại khác B). Đường thẳng cắt (C1) tại khác B). a) Chứng minh các tam giác đồng dạng.

b) Chứng minh .

------------------------------------ Hết --------------------------------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: …..…………………………………….; Số báo danh: …………………..

8 1 4 4 A 4 8 2 4 x x x x x x x x          

0 4 x  

x A , , a b c 1 , , 2. a b c  

7 a b c a c b b c a c b a      

2 2 3 2 0 x x m    m

1 2 , x x

2 2 1 1 3 x x x     

1 n      2 1 8 n n n   

p   3 p  a b

2 2 2 p a b   a 2( 1) p a  

ABCD E BC E B C B DE H CD . F K AH BD

, , K E F

E BC BKEH

   1 2 , C C , A B A   1 C ( M M A A   1 C   2 C

N N A MB   2 C ( P P NB ( Q Q

, AMP ANQ

2 2 . . MB NA NB MA 

ĐỀ CHÍNH THỨC

DeThi.edu.vn

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NAM

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2017 – 2018

HƯỚNG DẪN CHẤM

Môn: TOÁN (Hướng dẫn chấm thi này có 06 trang)

Câu Đáp án Điểm

Cho biểu thức với .

Rút gọn biểu thức A; tìm số nguyên để là số nguyên.

3,0

0,5

0,5

(vì nên )

0,5

0,5

0,5

Ta có :  0 <A  1.

+ Để A là số nguyên ( khi đó A =1) thì hay

0,5

Chú ý: Các học sinh có thể đặt t = ( 0  t <2) – thực hiện các biến đổi đại số. Các thầy cô cho điểm thích hợp theo cách cho điểm từng phần trên đây. b) Cho ba số thực thỏa Chứng minh :

. 2,0

Vì a,b,c có vai trò như nhau và nên giả sử 2 ≥ a ≥b ≥ c ≥ 1 Khi đó: (b-a)(b-c) ≤ 0 0,25

 b2 +ac ≤ ab+bc (*)  ( chia 2 vế (*) cho bc)

và ( chia 2 vế (*) cho ab)

0,25

0,25

 0,25

Câu 1 (5,0 đ)

Để chứng minh (1) ta tiếp tục chứng minh  7  (2) 0,25

8 1 4 4 A 4 8 2 4 x x x x x x x x          

0 4 x  

x A

 

2

3 3

( 2) 8 1

4 2 4 2

x x A x x x x

        

2 8 1 ( 2)( 2 4) 2 4 ( 2)( 2)

x x x x x x x x x

           

8 1 2 ( 2)( 2 4) 2 4 ( 2)( 2) x x x x x x x x x            

0 4 x   0 2 x   8 1 1 ( 2)( 2 4) 2 4 2 x x x x x x x          

8 ( 2) ( 2 4) ( 2)( 2 4) x x x x x x x       

  

3 6 3 ( 2)( 2 4) 2 4 x x x x x x        

2 2 4 ( 1) 3 3 x x x      

2 4 3 x x    1 x  x

, , a b c 1 , , 2. a b c  

7 a b c a c b b c a c b a      

1 , , 2 a b c  

1 a b a b c c  

1 b c c a b a  

2 2( ) a b b c a c a c b c a b c a c a        

2 2( ) a c c a   5 2 a c c a  

DeThi.edu.vn