Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Sở giáo dục và đào tạo Thanh Hóa (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THANH HÓA

ĐỀ CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2017-2018

Môn thi: TOÁN - Lớp 9 THCS Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 10 tháng 3 năm 2018 (Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu)

Câu I (4,0 điểm).

1. Cho biểu thức , với Rút gọn và tìm tất

cả các giá trị của sao cho giá trị của P là một số nguyên.

2. Tính giá trị của biểu thức tại

Câu II (4,0 điểm).

1. Biết phương trình có hai nghiệm tương ứng là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông. Tìm để độ dài đường cao ứng với cạnh huyền của tam giác vuông đó bằng

2. Giải hệ phương trình

Câu III (4,0 điểm).

1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2. Cho là các số nguyên dương thỏa mãn là số nguyên tố và chia hết cho 8. Giả

sử là các số nguyên thỏa mãn chia hết cho . Chứng minh rằng cả hai số chia hết cho .

Câu IV (6,0 điểm).

Cho tam giác có theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp và đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh của tam giác với các tâm tương ứng là . Gọi là tiếp điểm

của với , là điểm chính giữa cung của , cắt tại điểm . Gọi là giao điểm của và là điểm đối xứng với qua 1. Chứng minh là tứ giác nội tiếp. 2. Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác

3. Chứng minh .

Câu V (2,0 điểm).

Cho là các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng

¼ BAC

2 2 1 1 2 2 1 x x x x x P

x x x x x x x x           

0, 1. x x   P

x

2018 2017

2 4( 1) 2 2 1 2 3 x x x x P x x      

1 3 . 2 3 2 2 3 2 x    

2 ( 2) 2( 1) 0 m x m x m      m 2 .

5

2 2 2 ( ) (8 8 4 13) 5 0

1 2 1

x y x y xy

x x y

            

2 2 2 5 62 ( 2) ( 6 8) . y y y x y y x        ,a b 2 2 p a b   5 p 

,x y 2 2 ax by  p ,x y p

ABC ( ),( ),( ) a O I I A , , a O I I D

( )I BC P ( ) O a PI ( ) O K M PO , BC N P . O

a IBI C

a NI . aI MP · · a DAI KAI 

, , x y z . x z 

2

2

2 5. 2 xz y x z y yz xz yz x z       

Số báo danh ..................................

DeThi.edu.vn

------------- HẾT --------------

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THANH HÓA

ĐỀCHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2017-2018

Môn thi: TOÁN – Lớp 9 THCS Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 10 tháng 3 năm 2018

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM

(Gồm có 05 trang) Câu NỘI DUNG Điể m

1. Cho biểu thức , với

Rút gọn và tìm tất cả các giá trị của sao cho giá trị của P là một số nguyên

2,5

Với điều kiện , ta có:

0,50

0,50

0,50

0,50

Ta có với điều kiện

Do nguyên nên suy ra (loại).

Vậy không có giá trị của để nhận giá trị nguyên.

0,50

I 4,0 điểm

Chú ý 1:Có thể làm theo cách sau

, coi đây là phương trình bậc hai của

. Nếu vô lí, suy ra nên để tồn tại thì phương trình trên có

0,50

2 2 1 1 2 2

1

x x x x x P

x x x x x x x x

          

0, 1. x x  

P x

0, 1 x x  

       

2 1 2 2 1

1 1 1 1 1

x x x x x P

x x x x x x x x x x

              

      

2 1 1 2 2 1

1 1

x x x x x x x

x x x x

       

  

    

2

1 1

x x x

x x x x

  

  

     

1 2 2 .

1 1 1

x x x x x x x x

    

    

0, 1 1 1 1 x x x x x     

2 2 1 0 1 2 1 1 1

x x P

x x x x

           

P 2 1 1 1 1

x P x x x

      x P

  2 1 2 0 1 x P Px P x P x x           x

0 2 0 P x     0 P  x     2 1 4 2 0 P P P     

 

2 2 2 4 4 3 6 1 0 2 1 1 3 3 P P P P P         

DeThi.edu.vn