Đề tự luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 (Ngày 10. 04. 2020)

ĐỀ TỰ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 9

(10. 4. 2020)

Bài 1. (2,5 điểm) Giải các phương trình sau:

1. 3x2 + 4x + 10 = 2 2 14x 7 − ;

2. 4 4 2 4 2 2 4 x x 16 4x 1 x y 2y 3 5 y; − − − + + + + − − = −

3. x4 – 2y4 – x2y2 – 4x2 – 7y2 – 5 = 0 (với x; y nguyên).

Bài 2. (2.5 điểm)

1. Tìm số tự nhiên n để n 18 + và n 41 − là hai số chính phương.

2. Căn bậc hai của 64 có thể viết dưới dạng như 64 6 4. = + Hỏi có tồn tại hay không các số có

hai chữ số có thể viết căn bậc hai của chúng dưới dạng như trên và là một số nguyên? Hãy chỉ

ra toàn bộ các số đó.

Bài 3. (3,25 điểm)

Cho đường tròn (O ; R) và đường thẳng d không đi qua O cắt đường tròn (O) tại hai điểm A và

B. Từ một điểm M tùy ý trên đường thẳng d và ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến MN và MP

với đường tròn (O), (P, N là hai tiếp điểm).

1. Chứng minh rằng 2 2 MN MP MA.MB; = =

2. Dựng vị trí điểm M trên đường thẳng d sao cho tứ giác MNOP là hình vuông.

3. Chứng minh rằng tâm của đường tròn đi qua ba điểm M, N, P luôn chạy trên đường thẳng cố

định khi M di động trên đường thẳng d.

Bài 4. (1,5 điểm)

Trên mặt phẳng tọa độ xOy lấy điểm P(0 ; 1), vẽ đường tròn (K) có đường kính OP. Trên trục

hoành lấy ba điểm M(a ; 0); N(b ; 0), Q(c ; 0). Các đường thẳng PM, PN, PQ lần lượt cắt đường tròn

(K) tại A, B, C. Tính độ dài các cạnh của tam giác ABC theo a; b; c. Bài 5. (0,75 điểm)

Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng

3 3 3 3 3 3

2 2 2 19b a 19c b 19a c 3(a b c). ba 5b cb 5c ac 5a − − − + +  + + + + +

-------------Hết-------------

DeThi.edu.vn