Đề tự luyện thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 (Ngày 30. 03. 2020)

ĐỀ TỰ LUYỆN ÔN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9

(30. 03. 2020) Câu1. (3,0 điểm)

1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình

2 8x 3xy 5y 25. − − = 2) Tìm tất cả số nguyên dương n sao cho tổng n n A n.4 3 = + chia hết cho 7. Câu 2. (4,0 điểm)

1) Rút gọn biểu thức 2 10 30 2 2 6 2 B : 2 10 2 2 3 1 + − − =  − −

2) Cho các số thực dương a, b, c, x, y, z thoả mãn

2 2 2 x yz y zx z xy a b c − − − = = 

Chứng minh rằng

2 2 2 a bc b ca c ab x y z − − − = = 

Câu 3. (4,0 điểm)

1) Cho phương trình bậc hai

2 x 6x 0, m − − = với m là tham số. Tìm giá trị của tam số

m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 thỏa mãn

2 2 1 2 x x 12. − =

2) Giải hệ phương trình

3 3 3

2 2 8x y 27 18y . 4x y 6x y

 

+ =

+ =

Câu 4. (7,0 điểm) 1) Cho BD là đường kính của đường tròn (O ; R). Gọi AC là dây thay đổi của đường tròn (O ; R) sao cho AC luôn vuông góc với BD tại H. Gọi P, Q, R, S lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ H xuống AB, AD, CD, CB. Chứng minh rằng: a) Tổng 2 2 2 2 HA HB HC HD + + + có giá trị không đổi. b) Tứ giác PQRS là tứ giác nội tiếp. 2) Cho hình vuông ABCD và tứ giác MNPQ có bốn đỉnh M, N, P, Q lần lượt thuộc các

cạnh AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng ABCD

AC(MN NP PQ QM) 4 + + +   S

Câu 5. (2,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh bất đẳng thức sau:

ab bc ca a b c a 3b 2c b 3c 2a c 3a 2b 6 + + + +   + + + + + + ---------Hết---------

DeThi.edu.vn