Đề tự luyện thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Ngày 28. 02. 2020)

ĐỀ TỰ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 (28. 02. 2020)

Thời gian làm bài: 150 phút Câu I. (4,0 điểm)

Cho biểu thức 2x 1 x 2x x x x (x x)(1 x) A 1. 1 x 1 x x 2 x 1

       

−+ + − − − = +  − − + −

1. Rút gọn biểu thức A;

2. Tìm x để 1 A 7 − 

Câu II. (4,0 điểm)

1. Giải phương trình 2 2 x 3x 2 0. x x 2 x 5x 2 − − = − − − −

2. Giải hệ phương trình

2 2 2 2

2 2 x y 2x y . (x y)(1 xy) 4x y

 

+ =

+ + =

Câu III. (4,0 điểm) 1. Tìm các nghiệm nguyên (x ; y) của phương trình 2 2 5(x xy y ) 7(x 2y). + + = + 2. Tìm tất cả các số nguyên tố p, q sao cho tồn tại số tự nhiên m thỏa mãn:

2 pq m 1

p q m 1

+ =  + +

Câu IV. (6,0 điểm) Cho 3 điểm A, B, C cố định nằm trên một đường thẳng d (B nằm giữa A và C). Vẽ đường tròn tâm O thay đổi nhưng luôn đi qua B và C (O không thuộc đường thẳng d). Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại M và N. Gọi I là trung điểm của BC, AO cắt MN tại H và cắt đường tròn tại các điểm P và Q (P nằm giữa A và O), BC cắt MN tại K.

1. Chứng minh 4 điểm O, M, N, I cùng nằm trên một đường tròn; 2. Chứng minh điểm K cố định khi đường tròn tâm O thay đổi; 3. Gọi D là trung điểm của HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP tại E. Chứng minh P là trung điểm của ME. Câu V. (2,0 điểm)

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn 2 2 a b a b 2 c 6. b a b a + + + =            

Tìm giá trị nhỏ

nhất của biểu thức bc ca 4ab P

a(2b c) b(2a c) c(a b) = + +  + + +

------------------Hết------------------

DeThi.edu.vn