Đề tự luyện thi học sinh giỏi Toán Lớp 9 (Ngày 26. 02. 2020)

ĐỀ TỰ LUYỆN THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 (26. 02. 2020)

Thời gian làm bài: 150 phút Câu 1. (1,5 điểm)

Phân tích đa thức 2 2 4(1 x)(1 y)(1 x y) 3x y + + + + − thành nhân tử. Câu 2. (2,5 điểm)

a) Giải phương trình 2 2 2x 7x 10 2x x 4 3(x 1). + + + + + = +

b) Giải hệ ph-ơng trình

 = +   = +  

= + 

2

2

2

2

2

2

4x y 1 4x 4y z 1 4y

4z x 1 4z

.

Câu 3. (2,0 điểm)

a) Tìm các số nguyên dương x, y, z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:

x y 2011 y z 2011 − −

là số hữu tỉ và 2 2 2 x y z + + là số nguyên tố.

b) Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2 20y 6xy 150 15x. − = − Câu 4. (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn có trung tuyến CM. Các đường cao AH, BD, CF cắt nhau tại I. Gọi E là trung điểm của DH. Đường thẳng qua C và song song với AH cắt BD tại P; đường thẳng qua C và song song với BD cắt AH tại Q. a) Chứng minh PI.AB = AC.CI b) Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác CDH. Chứng minh MD là tiếp tuyến

của đường tròn (O). c) CE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại R (R khác C); CM cắt đường tròn

(O) tại K (K khác C). Chứng minh AB là đường trung trực của đoạn KR. Câu 5. (1,0 điểm)

a) Chứng minh 1 1 2 , 1 x 1 y 1 xy +  + + +

với x, y là các số dương thỏa mãn xy 1. 

b) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện 1 a, b, c 2 2   . Chứng minh

a b c 22 a b b c c a 15 + +   + + +

--------------Hết--------------

DeThi.edu.vn