Dạng đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 9

DẠNG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN LỚP 9

Thời gian làm bài: 150 phút Câu I. (5,0 điểm) 1) Cho phương trình: 2 x 2 x 2 1 0. m m − + −= Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm 1 2 x , x

với mọi m. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 2 2 2 1 2 1 2

2x x 3 P

x x 2(1 x x )

+ =

+ + +

khi m thay đổi.

2) Cho ba số hữu tỉ a, b, c thoả mãn 1 1 1 a b c + = Chứng minh rằng 2 2 2 A a b c = + + là số hữu tỉ.

3) Cho ba số hữu tỉ x, y, z đôi một phân biệt. Chứng minh rằng:

2 2 2 1 1 1 B

(x y) (z x) (y z) = + + − − −

là số hữu tỉ.

Câu II. (5,0 điểm)

1) Giải phương trình

2 2 x x 10 x 1 x 1 9     + =      − +    

2) Giải hệ phương trình

2

2 3

2 3

1 1 x x 1 4 y y

x x 1 x 4. y y y

   + + + =        + + + = 

Câu III. (2,0 điểm) Cho tam giác đều ABC, các điểm D, E lần lượt thuộc các cạnh AC, AB, sao cho BD, CE cắt nhau tại P và diện tích tứ giác ADPE bằng diện tích tam giác BPC. Tính số đo góc BPE. Câu IV. (4,0 điểm) Cho đường tròn tâm O và dây cung AB cố định (O AB  ). P là điểm di động trên đoạn thẳng AB (P A, B  và P khác trung điểm AB). Đường tròn tâm C đi qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Đường tròn tâm D đi qua điểm P tiếp xúc với đường tròn (O) tại B. Hai đường tròn (C) và (D) cắt nhau tại N ( N P  ).

1) Chứng minh rằng ANP BNP = và bốn điểm O, D, C, N cùng nằm trên một đường tròn. 2) Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn ON luôn đi qua điểm cố định khi P di động. Câu V. (4,0 điểm) 1) Cho 1 2 45 a , a ,...., a là 45 số tự nhiên dương thoả mãn 1 2 45 a a .... a 130.     Đặt

j j + 1 j d a a ;(j 1,2,...,44). = − = Chứng minh rằng ít nhất một trong 44 hiệu j d xuất hiện ít nhất 10

lần (toán tổ hợp).

2) Cho ba số dương a, b, c thoả mãn 2 2 2 2 2 2 a b b c c a 2011. + + + + + = Chứng minh rằng 2 2 2 a b c 1 2011. b c c a a b 2 2 + +  + + +

--------------HẾT--------------

DeThi.edu.vn