Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 - Phòng giáo dục và đào tạo Bình Giang (Có đáp án)

PHÒNG GD&ĐT BÌNH GIANG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

NĂM HỌC: 2018 - 2019

MÔN: TOÁN - LỚP 9 Thời gian làm bài: 150 phút

(Đề bài gồm 1 trang)

Câu 1 (2,0 điểm).

1) Rút gọn biểu thức:

2) Chứng minh rằng: với .

Câu 2 (2,0 điểm).

1) Giải phương trình:

2) Cho và . Tính giá trị đa thức: .

Câu 3 (2,0 điểm).

1) Biết (18 chữ số 9) là một số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Hãy tìm 18 chữ số đầu tiên của phần thập phân của số đó.

2) Chứng minh rằng: Tích của một số chính phương với số liền trước của nó là một số chia hết cho 12 (Số chính phương là bình phương của một số tự nhiên).

Câu 4 (3,0 điểm).

Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến BD . Kẻ CH vuông góc với tia BD tại H.

1) Tính (Kết quả để nguyên dấu căn bậc hai).

2) Chứng minh rằng: .

3) Chứng minh rằng: Diện tích tam giác ABH bằng 6 lần diện tích tam giác ADH.

Câu 5 (1,0 điểm).

Cho hai số x, y thỏa mãn: . Tìm giá trị nhỏ nhất của xy.

-----------------------------------

(Ghi chú: Học sinh không được dùng máy tính cầm tay khi làm bài thi)

Họ tên học sinh:………………..……………………Số báo danh:……....…………

Chữ kí giám thị 1: …………….….…… Chữ kí giám thị 2:…………..……………

  20 2 112 4 A 5 7 3 3 1 5 1        

  

2 2x 1 x 1 x

x 1 x 0 2 x x 1

  

     

0 x 1  

2 x x 1 4 x x 1 7     

xy 1  x y 3   5 5 A x y  

0,9999....9

  D AC 

· sinABD

· 0 AHB 45 

2 2

2 1 8x y 4 4x   

ĐỀ CHÍNH THỨC

DeThi.edu.vn

PHÒNG GD&ĐT BÌNH GIANG HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG GIỎI LỚP 9

NĂM HỌC 2018 - 2019

MÔN: TOÁN - LỚP 9 (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)

Câu Đáp án Điểm

0,25

0,25

0,25 0,25

2) Với :

0,25

0,25

0,25

Câu 1 (2,0 đ)

= 0 0,25 1) ĐK: :

0,25

(Do ) 0,25

0,25

Câu 2 (2,0 đ)

hoặc (Loại)

(Thỏa mãn)

0,25

  20 2 112 4 1)A 5 7 3 3 1 5 1         2 5 2 4 7 4 35 15 3 1 5 1               2 5 1 3 1 4 7 1 5 1

35 15 3 1 5 1

          15 5 3 1 35 7 5 1 35 15         7 3 2   

0 x 1     

2 2x 1 x 1 x

x 1 x 2 x x 1

  

       

 

x 1 x x 1 x

x 1 x x 2 x 1 x 1 x

              

   

 

2 x 1 x x 1 x x 1 x

x 1 x x 1 x

           

x 1 x x 1 x      

2 x 0 x x 1 0    

   

2 2 2 2 x x 1 4 x x 1 4 x x 1 4 x x 1 7 7 7 x 2x 1 x x 1 x

                 

  

x x 1 4 1 4 7 7 x x 1 x 1 x x 1 x

         

4x 4 x 3 0    

2 1 3 x x 1 x 0 2 4               

2 2 4x 4 x 1 4 0 2 x 1 2 0         

  

3 2 x 3 2 x 1 0 x 2       1 x 2 

9 x 4 

DeThi.edu.vn

2) Cho và

0,25

0,25

Ta có: 0,25

Hay: 0,25 1) Đặt 0,999…9 = a. Để chứng minh 18 chữ số thập phân đầu tiên của là các chữ số 9, muốn vậy cần chứng minh a < < 1.

0,25

Thật vậy ta có: 0 < a < 1  a(a – 1) < 0  a2 – a < 0  a2 < a. 0,25

Từ 0 < a2 < a < 1 suy ra a < < 1. 0,25 Vậy = 0,9999…9…(18 chữ số 9 đầu tiên sau

phẩy)

0,25

2) Số chính phương có dạng , tích của một số chính

phương với số liền trước của nó là: 0,25

Ta có: với mọi 0,25

với mọi 0,25

Câu 3 (2,0 đ)

Do 3, 4 là hai số nguyên tố cùng nhau nên: 0,25

1) Ta có .

Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông ABD có:

0,25

0,25 K

D

H

C

B

A

0,25

0,25

2) Chứng minh được: đồng dạng (g.g) 0,25

Câu 4 (3,0 đ)

0,25

xy 1  x y 3  

 

2 2 2 2 2 x y 9 x y 2xy 9 x y 7          

     3 3 2 2 x y x y x y xy 3. 7 1 18         

     2 2 3 3 5 5 2 2 x y x y x y x y x y      

5 5 2 7.18 x y 1 .3    5 5 x y 126 3 123     

a a

a

18chu so9 0,9999....9 1 44 2 4 43

  2 n n N 

      2 2 2 n n 1 n 1 n n 1    

   n 1 n n 1 3   M n N    2 2 n n 1 3   M

    n 1 n 2 ; n n 1 2   M M n N    2 2 n n 1 4   M

  2 2 n n 1 12  M

1 AD AB 2 

2 2 2 BD AB AD  

2 2 2 AB 5AB AB 4 4   

AB 5 BD 2  

· AD sinABD BD  

AB AB 5 1 : 2 2 5   · 1 sinABD

5  

ABD  HCD  BD AD CD HD   BD CD AD HD  

DeThi.edu.vn