Đề thi đề xuất học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Vũ Thị Bình (Có đáp án)

1. Đề thi đề xuất: Học sinh giỏi toán 9 . 2. Kỳ thi: Học sinh giỏi toán 9

Môn thi: Toán Thời gian làm bài:150 phút 3. Họ và tên: Vũ Thị Bình Chức vụ : Giáo viên 4. Đơn vị: Trường THCS Liêm Chính 5. Nội dung đề thi:

Câu 1 ( 3 điểm ) Cho biểu thức :

a) Rút gọn A. b) Với x > 4, x 9, Tìm giá trị lớn nhất của A. ( x + 1 ) .

Câu 2 ( 6 điểm )

a) Giải phương trình : .

b) Giải hệ phương trình : c) Tìm các nghiệm nguyên của phương trình : 5x – 3y = 2xy – 11 .

Câu 3 ( 3 điểm ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường thẳng (d) có phương trình y = mx + 1 ( m là tham số ) và parabol (P) có phương trình y = x2..

a) Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại điểm có hoành độ bằng -2 . b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định I và luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A ,B có hoành độ lần lượt là xA, xB thỏa mãn : .

Câu 4( 6 điểm ) Cho đường tròn ( O) đường kính AB = 2R. Gọi E là điểm tùy ý trên đường tròn ( E khác A và B ) . Qua E kẻ tiếp tuyến d với đường tròn. Gọi C, D lần lượt là các hình chiếu của A và B trên d.

a) Chứng minh : EC = ED. b) Chứng minh : Tổng ( AC + BD ) có giá trị không phụ thuộc vào vị trí của điểm E.

c) Chứng minh: Đường tròn đường kính CD tiếp xúc với ba đường thẳng AC, BD và AB.

Câu 5 ( 2 điểm ) Cho đường tròn ( O; R ) và một điểm H cố định ở bên trong đường tròn. Xét các tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( O) và nhận H làm trực tâm. Tìm quỹ tích chân các đường cao của tam giác ABC .

-------------------- HẾT -----------------------

Họ và tên thí sinh : …………………………Số báo danh : …………………. Chữ ký Giám thị 1 : ……………………… Chữ ký Giám thị 2 : …………….

3 9 3 2 1 : 9 6 2 3 x x x x x A x x x x x

                        



2 x 2 10 x x 12x 40 - + - = - +

2

2 2

2

x y x

y x y

      

2 A B x x  

DeThi.edu.vn

ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM ĐỂ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9

Câu Đáp án Biểu điểm Câu 1 ( 3 điểm)

a)

b) Với x > 4 =>

A.(x+1) =

Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số và dương, ta có

Vậy giá trị lớn nhất của A. (x+1 ) là . Dấu “ = ” xảy ra khi

0,5 điểm

0,5 điểm

0,5 điểm

0,5 điểm

0,5 điểm

0,5 điểm

Câu 2 ( 6 điểm)

a) (2 điểm ) ĐKXĐ : 2 x 10 +) Vế trái của phương trình Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho các số

ta có :

(1)

Dấu “=” xảy ra khi x = 6 (thỏa mãn ) +) Vế phải của phương trình

0,25 điểm

0,75 điểm

  

 

 

3 9 3 2 1 : 9 6 2 3

( 3) 9 3 2 1 : ( 3)( 3) 2 3 3 2

9 9 4 4 1 : ( 3) ( 3). 2

2 3 3 : . ( 3) ( 3) 2

x x x x x A x x x x x

x x x x x A

x x x x x x

x x x x x A

x x x

x A

x x x

                                                                            

      

2 x 

3( 1) 5 3 2 4 . 2 2 x x x x             

2 x 

5 . 2 x  5 2 2 5. 2 x

x    

5 3 2 4 3(2 5 4) 2

5 3 2 4 6 5 12. 2

x

x

x

x

                         

6 5 12  

9 2 5 x  

2 x 2 10 x x 12x 40 - + - = - + £ £

2; 1; 10 ; 1 x x   ( ) ( )

( )

2

2

x 2 10 x x 2 10 x .2

x 2 10 x 16

4 x 2 10 x 4

- + - £ - + -

= > - + - £

= > - £ - + - £

DeThi.edu.vn