Bài tập ôn thi học sinh giỏi môn Đại số Lớp 9 (Kèm đáp án)

Bài 1:

1. Tìm các số nguyên dương x, y sao cho

2 2

2 2 x y x y  là một số nguyên tố.

HD: Vì

2 2

2 2 x y x y  là một số nguyên tố nên ta có

2 2

2 2 x y p x y   với p là số nguyên tố   2 2 2 2 x y p x y   

Đặt   ,x y d  với d nguyên dương 1 1 , x dx y dy    với   * 1 1 1 1 , , ; , 1 x y N x y  

Ta có       4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 d x y pd x y d x y p x y p x y x y        M . Đặt   2 2 2 2 1 1 1 1 , x y x y m   với

m *, 1 N m   2 2 1 1 x y m  M và 2 2 1 1 x y m  M , vì m *, 1 N m   nên tôn tại số nguyên tố q là ước của m m d  M

2 2 1 1 x y q  M và 2 2 1 1 x y q  M . Vì 2 2 1 1 x y q M mà q nguyên tố 2 1x q  M hoặc 2 1y q M , mà 2 2 2 1 1 1 x y q y q   M M hoặc 2 1x q M

q  là USC  2 2 1 1 , x y , ta có     2 2 1 1 1 1 . 1 , 1 1 x y x y q    M vô lý vây m=1   2 2 2 2 1 1 1 1 , 1 x y x y   

Mà   2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 p x y x y p x y   M M , mà p nguyên tố nên p không là số chính phương nên 2 2 1 1 1 1 1 1 x y x y   

x y d     2 2 x p x   chẵn 2 4 2 4 2 x p p    M M M mà p nguyên tố nên p=2 2 4 2 x x y      2. Có bao nhiêu số tự nhiên n không vượt quá 2019 thỏa mãn n3 + 2019 chia hết cho 6 HD: đặt M=   3 3 2019 2022 3 n M n n n       

Ta có    3 1 1 n n n n n     , ta có        

3 1 2; 1 1 3 1 1 6 6 n n n n n n n n n n         M M M M , ta có 2022 6 M Nên 6 3 3 6 M n n k      M M với k Z 

Ta có 1 0 2019 3 3 2016 3 6 2016 336 2 n n k k            , mà k nguyên nên k=0,1,2,....336

có 337 giá trị của k có 337 giá trị của n thỏa mãn Bài 2: 1. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x,y) sao cho x2 + 8y và y2 + 8x là các số chính phương. HD: vì x, y có vai trò như nhau nên giả sử  

2 2 2 2 0 8 8 16 4 x y x x y x x x          

mà 2 8 x y  là số chính phương nên       2 2 2 2 2 2 8 1 ; 8 2 ; 8 3 x y x x y x x y x         

-Nếu 2 2 8 ( 1) 8 2 1 x y x y x      vô lý; tương tự nếu 2 2 8 ( 3) 8 6 9 x y x y x       vô lý

-Nếu 2 2 8 ( 2) 2 1 x y x y x x       là số lẻ 2 1 x k    (với k=1,2….) 1 y k   

+ Với k=0 ta có x=y=1 khi đó 2 8 x y  = 2 8 y x  =32 là số chính phương.

+ Với k 1  Ta có  

2 2 2 8 1 8(2 1) 18 9 y x k k k k         kà số chính phương

Mà     2 2 2 3 18 9 9 k k k k       nên       2 2 2 2 2 2 18 9 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 k k k k k k k        

+ Nếu     2 2 2 2 18 9 4 ; 6 ; 8 k k k k k        vô lý

+ Nếu  

2 2 2 2 2 2 18 9 5 8 16 2 5; 3 8 49 7 ; 8 49 7 k k k k k x y x y y x                  

+ Nếu  

2 2 2 2 2 2 18 9 7 4 40 10 21; 11 8 529 23 ; 8 289 17 k k k k k x y x y y x                  

Vây ta có 1 5 3 21 11 ; ; ; ; 1 3 5 11 21

x x x x x

y y y y y

                        

thỏa mãn bài ra.

2. Cho a, b là hai số nguyên dương, đặt     2 2 2 2 2 ; 2 A a b a B a b b       . Chứng minh rằng A

và B không đồng thời là hai số chính phương

HD : Giả sử tồn tại a, b nguyên dương để A và B đồng thời là số chính phương

DeThi.edu.vn