Đề thi khảo sát chất lượng đội tuyển học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2019-2020 (Có đáp án)

KỲ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC: 2019 – 2020

MÔN THI: TOÁN 9 Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian giao đề bài )

Câu 1 ( 3,0 điểm ).

1. a) Giải phương trình sau: .

b) Giải phương trình: .

c) Cho Giải phương trình: f(f(f(f(x)))) = 65539 .

2) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: x2 + 4x + 1 = y4 .

Câu 2 ( 2,0 điểm ).

a) Cho A = a + b + c + m + n + p, B = ab + bc + ca – mn – np – pm và C = abc + mnp. Biết a, b, c,

m, n, p là các số nguyên dương và cả B, C đều chia hết cho A. Chứng minh A là hợp số .

b) Cho x, y là các số hữu tỉ thỏa mãn đẳng thức: . Chứng minh: là một

số hữu tỉ.

c) Cho hai số a và b thỏa mãn a > 0, b > 0 . Xét tập hợp T các số có dạng: T = { ax + by }, trong đó x và

y là các số thỏa mãn x,y > 0 và x + y = 1. Chứng minh rằng các số: và đều thuộc tập hợp T .

Câu 3 ( 1,0 điểm ). Cho x, y, z là các số thực thuộc đoạn [ 0 ;4 ]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

.

Câu 4 ( 3,0 điểm ). Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ). M, N nằm trên cạnh BC sao cho M nằm giữa N và

B. Lấy các điểm P, Q trên AM, AN sao cho BP, CQ cùng vuông góc với BC. Gọi K, J lần lượt là tâm đường

tròn ngoại tiếp tam giác APQ, AMN và L là hình chiếu của K trên AJ. E là trực tâm tam giác AMN, S là hình

chiếu của E trên MN và F là trung điểm của MN.

1. Tính AE theo MJ và MN.

2. a) Gọi R là hình chiếu của Q trên đoạn thẳng BP và D là giao điểm của hai đường thẳng QR và AP,

kẻ đường kính AT của đường tròn ( K ). Chứng minh rằng: AL. CQ + QR . KL = AL . BP và MS.MB.PD2 =

MA.MP.RD2.

b) Chứng minh rằng: RD.PM.AL + NC.AL.PD = JL.BC. PD.

Câu 5: ( 1,0 điểm ). Cho a1, a2, …., an ( n 3) là các số thực. Chứng minh rằng: Khi đó ai, aj, ak là độ dài ba

cạnh của một tam giác, trong đó i, j, k là các số tự nhiên thỏa mãn điều kiện 0 < i < j < k n. Biết rằng n số

thực trên là các số thỏa mãn: .

HẾT

Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Họ và tên thí sinh:………………………………………….Số báo danh:……………………………………... Giám thị số 1:………………………………………………Giám thị số 2:…………………………………….

2 2 2x 5x 3 2x 5x 7 5      

2 2 2 2 2 3(x 2x 1) 2(x 3x 1) 5x 0       

2 f(x) x 6x 12.   

2

2 2 xy 1 x y 2 x y           

1 xy 

2ab a b  ab

P xy(x y) yz(y z) zx(z x)      





2 2 2 2 1 2 n 1 2 n 3n 1 (a a ....a ) (a + a + .... + a ) 3

   

DeThi.edu.vn

KỲ THI KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI

NĂM HỌC: 2019 – 2020

MÔN THI: TOÁN 9 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN

A. LƯU Ý CHUNG

- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác

nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.

- Điểm toàn bài tính đến 0.25 và không làm tròn.

- Với bài hình học nếu học sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó.

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

1

Câu Ý Lời giải Điểm

1 1 a. Giải phương trình: 2 2 2x 5x 3 2x 5x 7 5       . ĐKXĐ: x 1 hoặc 7 x 2  

Đặt 2 2x 5x 2 a ( a 0 )     , phương trình trở thành:

2 2 a 5 a 5 5    

2 4 2a 2 a 25 25    

4 2 2 4(a 25) (25 2a )     0.5

4 4 2 4a 100 4a 100a 625     

2 100a 725   2 29 a 4   .

---------------------------------------------------------------------------------------------------------

Khi đó, ta có: 2 2x 5x 2   = a 2 2 29 2x 5x 2 a 4      2 8x 20x 8 29    

2 8x 20x 37 0    

5 3 11 x 4 5 3 11 x 4

        

( thỏa mãn ĐKXĐ ). 0.5

Kết luận: Vậy phương trình có tập nghiệm S = 5 3 11 4

          

.

b. Cho 2 f(x) x 6x 12.    Giải phương trình: f(f(f(f(x)))) = 65539 .

Theo đề bài, ta có: f(x) = 2 2 x 6x 12 (x 3) 3      2 f(x) 3 (x 3)     . 0.25 ------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Suy ra : 2 4 f(f(x)) (f(x) 3) 3 (x 3) 3       4 f(f(x)) 3 (x 3)     .

f(f(f(x))) = (f(f(x)) – 3)2 + 3 = (x – 3)8 + 3. 0.25 f(f(f(f(x)))) = (f(f(f(x))) – 3)2 + 3 = (x – 3)16 + 3. DeThi.edu.vn