Đề thi học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 9

Đề 1:

Bài 1- (4®) a) Rút gọn:

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị nguyên của x thì

luôn có giá trị là số chính phương

Bài 2 - (4®) Cho biểu thức:

a) Rót gän P

b) Tính giá trị của P với

c) Tìm giá trị lớn nhất của P

Bài 3- (4®) Giải phương trình :

Bài 4 (6®)

a) Cho ABC, phân giác AD. Biết AB = c, AC = b, ¢ = 2 ( < 450).

CMR:

b) Cho tam giác ABC, các đường phân giác AD, đường cao BH, trung tuyến CE đồng

quy tại O. CMR: AC. cosA = BC.cosC

Bài 5 (2®) - Trên mặt phẳng toạ độ cho đường thẳng (d) có dạng:

. Tìm m để (d) cách gốc O một khoảng lớn nhất?

Đề 2

Bài 1 (5 điểm).

Cho biểu thức: A = , với a ≥ 0

1. Rút gon biểu thức A.

 

3 12 6 3 3 2 1 1 2 3 4 2 4 2 3 14 8 3

              

4 3 2 6 11 6 1 x x x x    

2 : 1 1 1 1

x y x y x y xy P xy xy xy

                      

2 2 3 x 



2 ) 4 2 2 5 5 0 a x x x     

2 ) 2 10 12 40 b x x x x      

c b bc AD    cos 2

    2 1 2 2 m x m y    

 

  



      

  



 

1 2 1

1 : 1 2 1

a a a a

a a a

a

DeThi.edu.vn

2. Thính giá trị của biểu thức A khi a = 2010 -2 .

Bài 2 (4 điểm).

1. Giải phương trình (x + 1)(x +2)(x + 4)(x + 8) = 28x2

2. Giải hệ phương trình:

Bài 3 (4 điểm).

1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y2 = - 2(x6- x3y - 32)

2. Cho tam giác ABC vuông tại A có phân giác AD. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của B, C lên đường thẳng AD.

Chứng minh rằng: 2AD ≤ BM + CN

Bài 4 (5 điểm).

Cho tam giác ABC vuông cân tại C. Gọi M là trung điểm của cạnh AB, P là điểm trên cạnh BC; các điểm N, L thuộc AP sao cho CN ┴ AP và AL = CN.

1. Chứng minh góc MCN bằng góc MAL.

2. Chứng minh ∆LMN vuông cân

3. Diện tích ∆ ABC gấp 4 lần diện tích ∆MNL, hãy tính góc CAP.

Bài 5 (2 điểm).Cho a b và ab = 6. Chứng minh:

Đề 3

Bài 1: (4,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức A =

b) Cho x, y, z thoả mãn: xy + yz + xz = 1.

Hãy tính giá trị biểu thức: A =

Bài 2: (3,0 điểm)

a) Cho hàm số : f(x) = (x3 + 12x – 31)2012

Tính f(a) tại a =

b) Tìm số tự nhiên n sao cho n2 + 17 là số chính phương?

Bài 3: (4,0 điểm) Giải các phương trình sau:

2 9 3 2 1 5 6 2 3 x x x x x x x         

2 2 2 2 2 2

2 2 2 (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 ) (1 ) (1 ) y z z x x y x y z x y z           

3 3 16 8 5 16 8 5   

2009

  

  

  

1

) ( 3 3 3

y x

y x y x

3 4

2 2

  

b a

b a

DeThi.edu.vn

a)

b)

Bài 4: (3,0 điểm)

a) Tìm x; y thỏa mãn:

b) Cho a; b; c là các số thuộc đoạn thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = 6 hãy chứng minh rằng:

a + b + c 0

Bài 5: (6,0 điểm)Cho tam giác ABC nhọn; các đường cao AK; BD; CE cắt nhau tại H.

a) Chứng minh:

b) Giả sử: HK = AK. Chứng minh rằng: tanB.tanC = 3

c) Giả sử SABC = 120 cm2 và BÂC = 600. Hãy tính diện tích tam giác ADE?

1 4 3 x x    

2 4 5 2 2 3 x x x    

  2 4 4 x y y x xy    

  1;2 



2 2 2

2 2 2 KC AC CB BA KB CB BA AC     

1 3

DeThi.edu.vn