Đề thi chọn học sinh giỏi Lớp 9 môn Toán - Năm học 2018-2019 - Sở giáo dục và đào tạo Đồng Nai (Có đáp án)

Đào Văn Tuấn – THCS Quang Trung – Tân Phú. 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỒNG NAI

ĐỀ CHÍNH THỨC

THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

NĂM HỌC 2018 – 2019

Môn Toán Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi 29/3/2019 (Đề thi này gồm 1 trang có 5 câu)

Câu 1. (4,5 điểm)

1) Cho (x, y) là nghiệm của hệ phương trình (với m là tham số

thực). Tìm m để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.

2) Giải hệ phương trình (với x, y thuộc R).

Câu 2. (4,5 điểm)

1) Giải phương trình 2) Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh:

Câu 3. (4,5 điểm)

1) Cho a, b, c là ba số nguyên khác 0 thỏa . Chứng minh rằng: abc chia

hết cho 4.

2) Tìm số các số nguyên dương không vượt quá 1000 nguyên tố cùng nhau với 999. Câu 4. (2 điểm)

Cho là tổng của 99

số hạng và là tổng của 99 số hạng. Tính A + B Câu 5. (4,5 điểm)

Cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn (I). Gọi D, E lần lượt là hai tiếp điểm của

AB, AC với đường tròn (I). Biết ba góc , đều là góc nhọn. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của hai đoạn BC và AC.

1) Chứng minh: 2AD = AB + AC – BC 2) Chứng minh rằng ba đường thẳng BI, DE, MN đồng quy.

----Hết----

1

2 3 3

x y m

x y m

         2 8 P x y  

2 2

3 3

1

1

x y

x y

      

4 3 2 9 24 27 9 0 (x R) x x x x      

3 4 a b c a b c b c a a b b c c a               

1 1 1 a b c  

1 2 3 99 .... 1 2 2 3 3 4 99 100 A          2 3 4 ... 100 B     

· · · , , BAC ABC BCA

DeThi.edu.vn

Đào Văn Tuấn – THCS Quang Trung – Tân Phú. 2

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỒNG NAI

THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9

NĂM HỌC 2018 – 2019

Môn Toán

HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. (4,5 điểm)

1) Cho (x, y) là nghiệm của hệ phương trình (với m là tham số

thực). Tìm m để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. Giải:

Ta có:

Dấu “=” xẩy ra khi 2m + 2 = 0 Giá trị nhỏ nhất của P là -12 khi m = -1

2) Giải hệ phương trình (với x, y thuộc R).

Giải:

Đặt

Ta có:

1

2 3 3

x y m

x y m

         2 8 P x y  

1 3 3 3 3 2 2 3 3 2 3 3 1

2 ( m R) 1

x y m x y m x m x y m x y m y x m

x m y m

                                   

 

2 2 2

2 8 4 8( 1) 4 8 8

2 2 12 12

P x y m m m m

m

       

   

1 m  

2 2

3 3

1

1

x y

x y

        

 

2 2 2

3 3 3

2 1 1

1 ( ) 3 1

x y xy x y

x y x y xy x y

                    x y S xy P      

2

2 2

3 2

3 3 3

1 1 2 1 2 2 3 1 1 2 3 3 2 0 3 . 1 2

S S P S P P

S SP S S S S S S

                               

DeThi.edu.vn

Đào Văn Tuấn – THCS Quang Trung – Tân Phú. 3

Câu 2. (4,5 điểm) 1.Giải phương trình

Giải: Với x = 0, (phương trình vô nghiệm. Với x 0, chia 2 vế của phương trình (*) cho x2.

2.Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh:

Giải:

     

2 2 2

2 2 3

1 1 1

2 2 2

1 5 5 2 0 1 5 5 2 0 5 3 2 0

S S S P P P

S S S S S S S S

                                  

 

2

2

1

2 1 0

5 5 2 0 (vn)

S P

S

S S

             

0

1 P S

    

0

1 1

0 0

1

x

y x y

xy y

x

                     

4 3 2 9 24 27 9 0 (x R) x x x x      

4 3 2 9 24 27 9 0 (*) x x x x      (*) 0x+9=0  

2 2

2

2

2

27 9 3 3 (*) - 9x+24 - + =0 9 18 0

3 3 0 3 3 3 6 0 3 6 0

3 3 0 ( ) 3 6

6 3 0 3 6

x x x x x x x

x x x x x x x x

x x vo nghiem x

x x x

                                          

                 

3 4 a b c a b c b c a a b b c c a               

3 4

1 1 1 4

a b c a b c b c a a b b c c a

                                                  

DeThi.edu.vn