14 Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019

Tổng hợp – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.

“Biển học” Kiến thức “Rỗng lớn” Mênh mong, chỉ lấy “Siêng năng”làm “Bờ bến”.

14 BỘ HSG TOÁN 9 CẤP TỈNH CẢ NƯỚC

Năm học: 2018 – 2019

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÁI BÌNH

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 THCS CẤP TỈNH

Năm học: 2018 – 2019

Môn: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Đề 1

Bài 1

Cho biểu thức

a/ Rút gọn biểu thức P

b/ Tính giá trị của biểu thức P khi 2 3 3 x 4 2 6 4 2 6;y x 6

Bài 2

Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): (m – 1)x + y = 3m – 4 và (d’): x + (m – 1)y = m. Tìm m để (d) cắt (d’) tại điểm M sao cho 0 MOx 30 .

Bài 3

a/ Giải phương trình: 2 3x 1 6 x 3x 14x 8 0

b/ Giải hệ phương trình:

3 2 2

3 x 2x 2x 2y x y 4 0

x xy 4x 1 3x y 7

Bài 4

Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3 thì 2 2 2 3a 3b 3c 4abc 13.

Bài 5

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, vẽ các đường cao BE và AD. Gọi H là trực tâm và G là trọng tâm tam giác ABC.

a/ Chứng minh rằng: Nếu HG // BC thì tan B.tan C = 3. b/ Chứng minh rằng: tan A.tan B.tan C = tan A + tan B + tan C.

Bài 6

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, gọi I, J, K lần lượt là tâm các đường tròn nội tiếp các tam giác ABC, ABH, ACH. Gọi giao điểm của các đường thẳng AJ, AK với cạnh BC lần lượt là E và F.

a/ Chứng minh rằng: I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF b/ Chứng minh rằng: Đường tròn ngoại tiếp tam giác IJK và đường tròn nội tiếp tam giác ABC có bán kính bằng nhau.

Bài 7

Tìm tất cả các bộ số nguyên dương (x, y, z) sao cho x y 2019 y z 2019

là số hữu tỉ và 2 2 2 x y z

là số nguyên tố.

ĐỀ CHÍNH THỨC

xy x xy x x 1 x 1 P 1 : 1 ; voi x, y 0; xy 1. xy 1 1 xy xy 1 xy 1

DeThi.edu.vn

Tổng hợp – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 THCS CẤP TỈNH

Năm học: 2018 – 2019

Môn: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề 2

Bài 1

a/ Cho y x 3 z P

xy x 3 yz y 1 zx 3 z 3 và xyz = 9. Tính 10P 1.

b/ Cho x, y, z là các số dương thõa mãn: x y z xyz 4

Chứng minh rằng: x 4 y 4 z y 4 z 4 x z 4 x 4 y 8 xyz

Bài 2

a/ Giải phương trình:

2

2 2 x 3 3x 6x x 2

b/ Giải hệ phương trình:

2 2

2 2 x y xy 1 2x

x x y x 2 2y

Bài 3

a/ Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình 2 2 2 x x 2y y 2xy xy 3

b/ Chứng minh rằng: 3 3 3 3 1 2 3 n a a a ... a chia hết cho 3, biết 1 2 3 n a ,a ,a ,...,a là các chữ số của 20192018.

Bài 4

Cho tam giác MNP có 3 góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. Gọi Q là trung điểm của NP và các đường cao MD, NE, PF của tam giác MNP cắt nhau tại H.

Chứng minh rằng: a/ MH = 2OQ b/ Nếu MN + MP = 2NP thì sin N + sin P = 2 sin M c/ ME.FH + MF.HE = 2 R2 biết NP = R 2

Bài 5

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2 2 ab bc ca P a b b c c a biết a, b, c là các số dương thõa

mãn 1 1 1 3 bc ca ab

ĐỀ CHÍNH THỨC

DeThi.edu.vn

Tổng hợp – Nguyễn Văn Đại – Đức An, Đức Thọ, Hà Tĩnh.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BÌNH ĐỊNH

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 9 THCS CẤP TỈNH

Năm học: 2018 – 2019

Môn: TOÁN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề 3

Bài 1

1/ Tính giá trị của biểu thức: 3 3 A x y 3(x y), biết rằng: 3 3 x 3 2 2 3 2 2 và

3 3 y 17 12 2 17 12 2

2/ Cho hai số thực m và n khác 0 thõa mãn 1 1 1 m n 2 . Chứng minh rằng:

2 2 x mx n x nx m 0 luôn có nghiệm.

Bài 2

1/ Giải hệ phương trình:

2

3 x xy y 1

x y 4x 5

2/ Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 2 2 2xy x y 1 x 2y xy

Bài 3

1/ Trong mặt phẳng cho 8073 điểm mà diện tích của mọi tam giác với các đỉnh là các điểm đã cho không lớn hơn 1. Chứng minh rằng trong số các điểm đã cho có thể tìm được 2019 điểm nằm trong hoặc trên cạnh của một tam giác có diện tích không lớn hơn 1.

2/ Cho a, b, c là các số thực không âm thõa mãn: a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

3 3 3 a b 1 b c 1 c a 1 5

Bài 4

1/ Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Gọi D là trung điểm của cạnh BC. Lấy điểm M bất kỳ trên đoạn AD (M không trùng với A). Gọi N, P theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M trên các cạnh AB, AC và H …