Đề khảo sát học sinh giỏi môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Phòng giáo dục và đào tạo Tiền Hải (Có đáp án)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TIỀN HẢI

ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2017–2018

MÔN: TOÁN 9 (Thời gian làm bài 120 phút)

Bài 1 (4,0 điểm). Tính giá trị của các biểu thức sau:

a)

b)

(Với a, b, c là các số thực dương và a + b + c = 1) Bài 2 (3,0 điểm)

a) Tìm các số a, b sao cho đa thức f(x) = x4 + ax3 + bx – 1 chia hết cho đa thức x2 – 3x + 2.

b) Chứng minh rằng: B = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 là một số chính phương với x, y, z là các số nguyên.

Bài 3 (4,0 điểm)

a) Tìm m để phương trình: vô nghiệm.

b) Giải phương trình: .

c) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: .

Bài 4 (7,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Kẻ AH vuông góc với BC tại H. Gọi D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC.

a) Biết AB = 6cm, HC = 6,4cm. Tính BC, AC.

b) Chứng minh rằng DE3 = BC.BD.CE

c) Đường thẳng kẻ qua B vuông góc với BC cắt HD tại M, Đường thẳng kẻ qua C vuông góc với BC cắt HE tại N. Chứng minh rằng M, A, N thẳng hàng.

d) Chứng minh rằng BN, CM, DE đồng qui.

Bài 5 (2,0 điểm)

Cho đa thức f(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d (Với a, b, c, d là các số thực)

Biết f(1) = 10; f(2) = 20; f(3) = 30. Tính giá trị biểu thức A = .

–––––––––––––––Hết–––––––––––––––– Họ và tên thí sinh: ................................................................................. Số báo danh: .................................................Phòng số:.........................

A 4 10 2 5 4 10 2 5 = + + + - +

         a bc b ca c ab b ca c ab a bc B c ab a bc b ca            

2m 1 m 3 x 2   

2 4 x 1 x 5x 14    

xy yz zx 3 z x y   

f (8) f ( 4) + -

DeThi.edu.vn

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO

TIỀN HẢI

KỲ KHẢO SÁT SINH GIỎI NĂM HỌC 2017-2018

ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM CHẤM

m¤N: TOÁN 9 (Đáp án và biểu điểm chấm gồm 03 trang)

BÀI Ý NỘI DUNG ĐIỂM

0.5

0.25

0.25

0.25

0.25

0.25

a 2.0

0.25

Vì a, b, c dương và a+b+c=1 nên biểu thức B có nghĩa và 0 < a,b,c < 1. Ta có: 0.25

0.25

0.5

0.25

0.25 (vì 0 < a,b,c < 1) 0.25

1

b 2.0

Tính đúng: B = 2 0.25 Ta có: x2 – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2). Theo bài ra: f(x) 0.25 f(x) chia hết cho x – 1 f(1) = 0 0.25 a + b = 0 b = –a (1) 0.25 f(x) chia hết cho x – 2 f(2) = 0 0.25 8a + 2b = –15 (2) 0.25

Từ (1) và (2) 8a + 2(–a) = –15 a = – b = 0.25

Thử lại: (x4 – x3 + x – 1):(x2 – 3x + 2) = x2 + x – 0.25

a 2.0

Vậy a = – , b = 0.25

B = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 0.25 B= 4(x2 + xy + xz)(x2 + xy + xz + yz) + y2z2 0.25 B= 4(x2 + xy + xz)2 + 4(x2 + xy + xz).yz + y2z2 0.25

2

1.0

B= (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2 0.25

( ) 2

A 4 10 2 5 4 10 2 5 0

4 10 2 5 4 10 2 5 2 16 10 2 5

= + + + - + >

Û A = + + + - + + - +

2 A 8 2 6 2 5 Û = + - ( )

2 2 A 8 2 5 1 Û = + -

2 A 8 2 5 2 Û = + -

2 A 6 2 5 Û = + ( )

2 2 A 5 1 Û = +

( ) A 5 1 doA 0 Û = + >

         1 b c bc 1 a c ca 1 a b ab 1 a c ca 1 a b ab 1 b c bc B

1 a b ab 1 b c bc 1 a c ca

                               

       

       

1 b 1 c 1 a 1 c 1 a 1 b 1 a 1 c 1 a 1 b 1 b 1 c B 1 a 1 b 1 b 1 c 1 a 1 c

                    

      2 2 2 B 1 c 1 a 1 b      

B |1 c | |1 a | |1 b |       B 1 c 1 a 1 b  

( )( ) x 1 x 2 M - - Þ Þ Þ

Þ Þ

Þ Þ 5 2 Þ 5 2 5 2

5 2

1 2

1 2 5 2

5 2

DeThi.edu.vn