Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 - Phòng giáo dục và đào tạo Cẩm Giàng (Có đáp án)

Sưu tầm: Trần Văn Toản Trang riêng: tranvantoancv.violet.vn. Kênh youtube: Vui học cùng thầy Toản

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO

CẨM GIÀNG

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

NĂM HỌC: 2018 - 2019

MÔN: TOÁN 9 Thời gian làm bài: 150 phút

Đề thi gồm 01 trang

Câu 1. (2,0 điểm)

a) Tính giá trị biểu thức:

b) Rút gọn biểu thức: . Từ đó,

tìm giá trị nhỏ nhất của B. Câu 2. (2,0 điểm)

Giải các phương trình sau:

a)

b) Câu 3. (2,0 điểm)

a) Tìm số tự nhiên n để n4 + 4 là số nguyên tố b) Tìm tất cả các số nguyên x, y thỏa mãn: Câu 4. (3,0 điểm)

1) Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, vẽ đường cao AD và BE. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC.

a) Chứng minh: và tanB.tanC =

b) Gọi a, b, c lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC.

Chứng minh rằng:

2) Trên hai cạnh AC, BC của tam giác đều ABC, lấy tương ứng hai điểm M, N sao cho MA = CN. Tìm vị trí của M để MN có độ dài nhỏ nhất. Tính giá trị nhỏ nhất đó khi cạnh của tam giác đều là 2,018 cm. Câu 5. (1,0 điểm)

Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn: x + y + z = 2018. Tìm giá trị lớn nhất của

biểu thức:

---------------Hết---------------

Họ và tên học sinh:...................................................... Số báo danh:..............................

Họ và tên giám thị giao đề........................................... Chữ ký:.......................................

17 12 2 3 2 2 A    

   

2 2 1 3 ; 0, 1 1 3 1

            

x x x x x B x x x x x x x

     2 1 1 1 x x x

2 2 1 xy x y   

. . AD DH DB DC  AD HD

bc

a A

2 2 sin 

x y z A

x 2018x yz y 2018y zx z 2018z xy         

DeThi.edu.vn

Sưu tầm: Trần Văn Toản Trang riêng: tranvantoancv.violet.vn. Kênh youtube: Vui học cùng thầy Toản

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO

CẨM GIÀNG

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

NĂM HỌC: 2018 - 2019

MÔN: TOÁN LỚP 9 Hướng dẫn chấm gồm 04 trang

Câu Đáp án Điểm

0,25

0,25

= 0,25

Câu 1a (1 điểm)

0,25

0,25

0,25

0,25 Câu 1b (1 điểm)

Vì Dấu “=” xảy ra khi x=0(thỏa mãn điều kiện) Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 2 khi x =0

0,25

ĐKXĐ: 0,25 Ta có:

0,25

Nếu thì phương trình (**) trở thành:

(vô lí) 0,25

Câu 2a (1 điểm)

Nếu thì phương trình (**) trở thành:

(thỏa mãn) Vậy phương trình đã cho có nghiệm x=1

0,25

Câu 2b (1 điểm)

Đặt:

Phương trình đã cho trở thành:

0,25

   

2 2 17 12 2 3 2 2 2 2 3 2 1 A        

2 2 3 2 1    

3 2 2 2 1   

4 3 2  

        1 1 3 2 1 1

1 3 1

             

x x x x x x x x B x x x x x

2 2       x x x x x

2    x x

0 2 2       x B x x

x 1 

 

    

    

    

2 2 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1(**)

x x x

x x

x x

   1 1 0 2 x x    1 1 1 1 1 1 x x    1 1 0 2 x x         1 1 1 1 2 1 0 1 x x x x

 

2 2 2 3 1 2 2         t x x x , x

1 2 6 1 1 t t t    

DeThi.edu.vn

Sưu tầm: Trần Văn Toản Trang riêng: tranvantoancv.violet.vn. Kênh youtube: Vui học cùng thầy Toản

0,25

0,25

Với t =2 ta có:

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất: x = 1

0,25

Ta có n4 + 4 = n4 + 4 + 4n2 – 4n2 = ( n2 + 2)2 – (2n)2 = ( n2 – 2n + 2).( n2 + 2n+ 2)

0,25

Vì n là số tự nhiên nên n2 + 2n+ 2 là số tự nhiên lớn hơn 2. 0,25 Mà n2 – 2n + 2 < n2 + 2n+ 2 nên để n4 + 4 là số nguyên tố thì n2 – 2n + 2 =1 Từ đó giải được n = 1. 0,25

Câu 3a (1 điểm)

Với n = 1 ta có n4 + 4 = 5 là số nguyên tố Vậy n = 1 là giá trị cần tìm 0,25

0,25 Vì x, y là số nguyên nên x+2; y+2 là số nguyên. Do đó: y + 2 là ước của 5 0,25

0,25 Câu 3b (1 điểm)

Từ đó tìm được các giá trị tương ứng của Vậy phương trình có 4 nghiệm là: (-1;3);(-3;-7);(3:-1);(-7;-3) 0,25

H

F

N

M

E

D

C B

A

a) Xét 2 tam giác vuông ADC và BDH có vì cùng phụ với

góc C nên ta có : (*) 0,5

Ta có tanB = ; tanC = tanB.tanC = (1) 0,25

Câu 4.1 (2điểm)

Từ (*) (2)

Từ (1) và (2) tanB.tanC =

0,25

2 3 7 2 0     t t 2( ) 1 ( ) 3

    

t tm

t ktm

 

2 2 2 3 2 1 0 1         x x x x

   2 2 1 2 2 5(1)       xy x y y x

  2 1; …