Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án)

Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn

DeThi.edu.vn

ĐỀ SỐ 1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ NỘI

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT

Môn thi: TOÁN (chuyên Toán)

Thời gian làm bài: 150 phú

Bài I (2,0 điểm)

1) Giải phương trình

2 2 2 1 0 x x x      .

2) Cho ba số thực ,a b và c thỏa mãn 1 ab bc ca   . Chứng minh

2 2 2 0 1 1 1 a b b c c a c a b         

Bài II (2,0 điểm)

1) Tìm tất cả cặp số nguyên ( , ) x y thỏa mãn

2 2 5 6 2 2 0 x xy y x y       .

2) Chứng minh với mỗi số nguyên n , số

2 16 n n   không chia hết cho 49 .

Bài III (2,0 điểm)

1) Cho số thực x khác 0 thỏa mãn 2 x x  và

3 x đều là số hữu tỉ. Chứng minh x là số hữu

tỉ.

2) Cho các số thực không âm ,a b và c thỏa mãn 5 a b c    . Chứng minh 2 2 18 a ab abc   

Bài IV (3,0 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn ( ) O , với gốc · 60 BAC   và AB AC  . Các đường thẳng , BO CO lần lượt cắt các đoạn thẳng , AC AB tại , M N . Gọi F là điểm chính giữa của cung BC lớn.

1) Chứng minh năm điểm , , , A N O M và F cùng thuộc một đường tròn.

2) Gọi , P Q lần lượt là các giao điểm thứ hai của hai tia , FN FM với đường tròn ( ) O . Gọi J là giao điểm của đường thẳng BC và đường thẳng PQ . Chứng minh tia AJ là tia phân

giác của góc ·BAC .

3) Gọi K là giao điểm của đường thẳng OJ và đường thẳng CF . Chứng minh AB vuông góc với AK .

Bài V (1,0 điểm)

DeThi.edu.vn

Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn

DeThi.edu.vn

Cho A là một tập hợp con có 100 phần tử của tập hợp {1,2,3, ,178} 

1) Chứng minh A chứa hai số tự nhiên liên tiếp.

2) Chứng minh với mọi số tự nhiên n thuộc tập hợp {2,3,4, ,22}  , tồn tại hai phần tử của A có hiệu bằng n .

DeThi.edu.vn

Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn

DeThi.edu.vn

ĐÁP ÁN Bài I (2,0 điểm) 1) Giải phương trình

2 2 2 1 0 x x x      . 2) Cho ba số thực ,a b và c thỏa mãn 1 ab bc ca   . Chứng minh

2 2 2 0 1 1 1 a b b c c a c a b          Lời giải 1) ĐKXĐ: 1 0 1 x x   . Cách 1:

Đặt 1, 0. t x t    Ta có:

 

2 2 2 1 1 2 2 0 t t t     

4 2 2 2 0 t t t        2 2 1 2( 1) 0 t t t     

2( 1)( 1) 2( 1) 0 t t t t         2 ( 1) ( 1) 2 0 t t t     

  3 2 ( 1) 2 0 t t t     

  3 2 2 ( 1) 2 2 0 t t t t      

  2 ( 1) ( 1) 2( 1)( 1) 0 t t t t t       

  2 ( 1)( 1) 2 2 0 t t t t      

  2 2 ( 1) 2 2 0 t t t     

 2 1( ) 1 ( 1) 1 0 t TM t t L

         Với 1 t , suy ra 1 1 1 1 0 x x x        (TM). Vây phương trình có nghiệm 0 x  .

Cách 2: Ta có:

2 2 2 2 2 2 1 0 1 2 1 1 0 ( 1 1) 0 x x x x x x x x                

0 0 0 0 0( ) 1 1 0 1 1 0 1 1

x x x x x TM x x x x

                                    Vây phương trình có nghiệm 0 x  .

DeThi.edu.vn

Bộ 29 Đề thi vào Lớp 10 môn Toán Hà Nội (Có đáp án) - DeThi.edu.vn

DeThi.edu.vn

2) Ta có:

2 2 2 2 2 2 1 1 1 a b b c c a a b b c c a VT c a b ab bc ca c ab bc ca a ab bc ca b                         ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) a b b c c a a b a b b c b c c a c a a c b c a b c a a b b c a b a c b c                         (đpcm).

Bài II (2,0 điểm) 1) Tìm tất cả cặp số nguyên ( , ) x y thỏa mãn

2 2 5 6 2 2 0 x xy y x y       . 2) Chứng minh với mỗi số nguyên n , số

2 16 n n   không chia hết cho 49 . Lời giải 1)

2 2 5 6 2 2 0 ( 2 )( 3 ) ( 2 ) 2 ( 2 )( 3 1) 2 x xy y x y x y x y x y x y x y                  (1) Do ;x y¢ suy ra 2 ; 3 1 x y x y   ¢ Vậy từ (1) ta suy ra các trường hợp sau

TH1: 2 2 6 3 1 1 2 x y x x y y

               

.

TH2: 2 1 1 3 1 2 0 x y x x y y

               

TH3: 2 2 2 3 1 1 0 x y x x y y

               

TH4: 2 1 3 3 1 2 2 x y x x y y

                Vậy các cặp số nguyên ( ; ) …