Đề thi thử vào lớp 10 chuyên THPT lần thứ ba môn Toán - Năm học 2015-2016

TRƯỜNG THPT CHUYÊN

NGUYỄN HUỆ

KỲ THI THỬ VÀO LỚP 10 CHUYÊN THPT

LẦN THỨ BA NĂM HỌC 2015 - 2016

Môn thi: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút

(dùng cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán và chuyên Tin)

Bài I: (2 điểm)

1) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a2 + b2 + c2 = a + 2b + 3c = 14. Tính giá trị của biểu thức T = abc. 2) Cho n là số nguyên dương. Chứng minh A = 24n + 1 + 34n + 2 là hợp số.

Bài II: (3 điểm)

1) Giải phương trình 2 3 2 5 1 7 1    x x x .

2) Giải hệ phương trình

2 2

2 2 5 14 8 0

5 16 4 8 16 0

x x y

x x y xy y

            

.

Bài III: (1 điểm)

Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh

4 4 4 4 4 4 9 ab bc ca a b c b c a c a b a b c

           .

Bài IV: (3 điểm)

Cho đường tròn (O, R) và một điểm S nằm ngoài đường tròn sao cho SO = 2R. Từ S kẻ hai tiếp tuyến SA, SB (A  (O), B  (O)) và cát tuyến SCD (C nằm giữa S và D) thay đổi. Gọi K là trung điểm của CD và H là giao điểm của AB và SO.

1) Chứng minh 4 điểm C, D, H, O nằm trên một đường tròn.

2) Chứng minh AC.BD = 1

2

AB.CD.

3) Tìm vị trí của điểm K sao cho 1 1  KA KB nhỏ nhất.

Bài V: (1 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ngũ giác lồi ABCDE có tọa độ các đỉnh là các số nguyên. Chứng minh tồn tại ít nhất một điểm nằm trong ngũ giác đó có tọa độ là các số nguyên.

------------------------- Hết----------------------

(Giám thị không giải thích gì thêm)

Họ và tên thí sinh: .....................................................Số báo danh:...............................

Chữ ký của giám thị số 1: Chữ ký của giám thị số 2:

DeThi.edu.vn

TRƯỜNG THPT CHUYÊN HƯỚNG DẪN CHẤM THI THỬ LẦN 3 VÀO LỚP 10

NGUYỄN HUỆ NĂM HỌC 2015 – 2016

Môn thi: TOÁN

(Dành cho hệ chuyên Toán và chuyên Tin)

BÀI Ý HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM I 2,0 1 Tính giá trị của biểu thức T = abc. 1,0

Ta có

2 2 2 14 2 3 14 a b c a b c

       



2 2 2 14 2a 4 6 28 a b c b c

         0,25

 a2 + b2 + c2 – 2a – 4b – 6c = - 14  (a – 1)2 + (b – 2)2 + (c – 3)2 = 0

0,25  a = 1; b = 2; c = 3 0,25 T = abc = 6. 0,25 2 Chứng minh rằng A = 24n + 1 + 34n + 2 là hợp số. 1,0

A =2.16n + 81n + 2.

Vì n > 0 nên A > 2 + 1 + 2 = 5 (1) 0,25 Vì 2.16n  2 (mod 5) 81n  1 (mod 5) 0,25 A  2 + 1 + 2 (mod 5)  0 (mod 5). (2) 0,25 Từ (1) và (2) suy ra với mọi n > 0, A > 5 và A chia hết cho 5 nên A là hợp số. 0,25 II 3,0 Giải phương trình 2 3 2 5 1 7 1    x x x 1,5 Điều kiện 1 x 

Ta có        2 2 3 1 2 1 7 1 1 x x x x x x         0,5

Đặt 1 0 a x  ; 2 1 0 b x x    ta được:

9 3 2 7 1 4

b a a b ab

b a

      

0,5

1

Giải phương trình ta tìm được 4 6 x   . 0,5 Giải hệ phương trình

1,5

Ta có

 

2 2

2 2 5 14 8 (1)

4 2 5 16 16 0 (2)

           

y x x

y x y x x

Coi (2) là phương trình bậc 2 ẩn y, suy ra: 2 9x  5 4 4       

y x y x

0,5

Với 5 4   y x suy ra: 

2 2 5 4 5 14 8     x x x ta được nghiệm 1 3 4 ( ; );( ;0) 2 2 5   0,5

2

Với 4   y x suy ra: 2 2 (4 x) 5x 14x 8     ta được nghiệm

11 3 17 27 3 17 11 3 17 27 3 17 ( ; );( ; ) 4 4 4 4       0,5

DeThi.edu.vn