Đề tuyển sinh vào lớp 10 chuyên môn Toán Lớp 9

ĐỀ THI ĐỀ XUẤT

Kì thi : Tuyển sinh vào lớp 10 chuyên Môn thi : Toán Thời gian làm bài : 150 phút Họ tên : Đinh Xuân Nghĩa Chức vụ : Giáo viên Đơn vị : Trường THCS Tiêu Động

Câu I (2,0 điểm)

1) Phân tích đa thức sau thành nhân tử

2 2 2 a (b-2c)+b (c-a)+2c (a-b)+abc .

2) Cho x, y thỏa mãn 2 2 3 3 x y- y +1+ y+ y +1  . Tính giá trị của biểu thức

4 3 2 2 A x +x y+3x +xy- 2y +1  .

Câu II ( 2,0 điểm)

1) Giải phương trình

2 4 2 (x - 4x+11)(x - 8x +21) 35  .

2) Giải hệ phương trình    2 2

2 2

x+ x +2012 y+ y +2012 2012

x + z - 4(y+z)+8 0

 





.

Câu III (2,0 điểm)

1)Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì (n2 + n + 1) không chia hết cho

9.

2)Xét phương trình x2 – m2x + 2m + 2 = 0 (1) (ẩn x). Tìm các giá trị nguyên

dương của m để phương trình (1) có nghiệm nguyên.

Câu IV (3,0 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC ngoại tiếp đường tròn tâm

O. Gọi D, E, F lần lượt là tiếp điểm của (O) với các cạnh AB, AC, BC; BO

cắt EF tại I. M là điểm di chuyển trên đoạn CE.

1) Tính ·BIF.

2) Gọi H là giao điểm của BM và EF. Chứng minh rằng nếu AM = AB

thì tứ giác ABHI nội tiếp.

3) Gọi N là giao điểm của BM với cung nhỏ EF của (O), P và Q lần lượt

là hình chiếu của N trên các đường thẳng DE, DF. Xác định vị trí của điểm M

để PQ lớn nhất.

Câu V (1,0 điểm)

DeThi.edu.vn

Cho 3 số a, b, c thỏa mãn 0 a b c 1     . Tìm giá trị lớn nhất của

biểu thức 1 1 1 B (a+b+c+3) + + a+1 b+1 c+1        .

ĐÁP ÁN

I) HƯỚNG DẪN CHUNG.

- Thí sinh làm bài theo cách riêng nhưng đáp ứng được yêu cầu cơ bản vẫn cho đủ điểm. - Việc chi tiết điểm số (nếu có) so với biểu điểm phải được thống nhất trong Hội đồng chấm. - Sau khi cộng điểm toàn bài, điểm lẻ đến 0,25 điểm. II) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM.

Câu Nội dung Câu I (2,0đ)

2 2 2 2 2 2 a (b - 2c) +b (c - a) + 2c (a - b) + abc=2c (a - b)+ab(a-b)-c(a ) ( ) b ac a b   

2 ( )[2 2 ] a b c ac ab bc      ( )[2 ( ) ( )] a b c c a b a c     

1) 1,0 điểm

( )( )( 2 ) a b a c b c    

Có 2 2 3 3 x = y- y + 1 y+ y + 1 

3 2 2 2 2 3 3 3 3 x = 2y +3 y - y + 1 . y+ y + 1 y- y +1 y+ y +1        

3 x + 3x -2y = 0 

4 3 2 2 4 2 3 2 A = x + x y + 3x - 2xy + 3xy - 2y + 1 = (x +3x -2xy) +(x y+3xy - 2y ) 1 

2) 1,0 điểm

3 3 x(x +3x-2y) +y(x +3x - 2y) 1 1   Câu II (1,0đ)

phương trình đã cho tương đương với 2 2 2 ( 2) 7 ( 4) 5 35 x x            (1)

Do

2

2 2 2

2 2 ( 2) 7 7 ( 2) 7 ( 4) 5 35 ( 4) 5 5

x x x x x x x

                     

2

2 2 ( 2) 7 7 (1)

( 4) 5 5

x

x

         

1)1,0 điểm

<=>x=2

DeThi.edu.vn

2)1,0 điểm 2 2

2 2 (x+ x +2012)(y+ y +2012) 2012 (1)

x + z - 4(y+z)+8=0 (2)

   

      2 2 2 2 (1) 2012 2012 2012 2012 2012 x x y y y y y y           (D

o 2 2012 0 y y y    )

   

  

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

2 2

2012 2012 2012 2012 2012 2012

2012 2012

2012 2012 2012 2012

2012 2012

x x y y x x y y

x y y x

y x y x x y

y x

           

     

        

  

2 2 2 2

2 2 2 2 2012 2012 ( ) 0 2012 2012 2012 2012

y y x x y x x y x y y x y x

                 

Do

2

2 2

2

2012 | | 2012 2012 0 2012 | |

y y y y y y x x y x x x x x

                 

Thay y=-x vào(2) 2 2 2 2 4 4 8 0 ( 2) ( 2) 0 x z x z x z           

2

2 ( 2) 0 2 2 2 ( 2) 0

x x y x z z

                

Vậy hệ có nghiệm (x;y;z)=(-2;2;2).

Câu III (2,0đ)

Đặt A = n2 + n + 1 do n  ¢ n = 3k; n = 3k + 1; n = 3k + 2 (k ¢ ) * n = 3k => A không chia hết cho 9 (vì A không chia hết cho 3) * n = 3k + 1 => A = 9k2 + 9k + 3 không chia hết cho 9.

1)1,0 điểm

* n = 3k +2 => A = 9k2 +9k+7 không chia hết cho 9 Vậy với mọi số nguyên n thì A = n2 + n + 1 không chia hết cho 9. Giả sử tồn tại m * ¥ để phơng trình có nghiệm x1, x2

Theo vi-et:

2 1 2

1 2 2 2

x x m

x x m

      

 (x1 - 1) (x2 - 1) = - m2 + 2m + 3

Với m * ¥ . Ta có x1x2 4  và x1 + x2 1  mà x1hoặc x2 …