10 bài tập Hình học Lớp 9 - Đường tròn và tiếp tuyến

1

10 Bài tập ôn hình lớp 9 HK 1

(Đường tròn & tiếp tuyến)

BÀI 1 : Cho tam giác ABC. Đường tròn có đường kính BC cắt cạnh AB, AC lần lượt tại E, D. BD và CE cắt nhau tại H. chứng minh : a/ AH vuông góc BC (tại F thuộc BC). b/ FA.FH = FB.FC. c/ Bốn điểm A, E, H, D cùng nằm trên một đường tròn , xác định tâm I của đường tròn. d/ IE là tiếp tuyến của đường tròn (I). Giải. a/Chứng minh AH vuông góc BC : Có  DBC nội tiếp (O) đường kính BC (gt) =>  DBC vuông tại D => BD CD hay BD AC. Chứng minh tươ tự : CE AB Xét ABC có : CE AB (cmt) => CE đường cao thứ nhất. BD AC (cmt) => BD đường cao thứ hai. hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H (gt) = > H là trực tâm của tam giác ABC = > AH là đường cao thứ ba. = > AH BC tại F.

b/ Chứng minh FA.FH = FB.FC : Xét  FAB và  FCH, ta có :BFA=CFH = 90º A1 + ABC = 90º ( FAB vuông tại F) C1 + ABC =90º ( FAC vuông tại F) => A1 = C1 (1) =>  FAB   FCH => FA/FC = FB/FH  FA.FH = FB.FC c/ Chứng minh .A, E, H, D nằm trên đường tròn: Xét ΔAEH vuông tại E (gt)   AEH nội tiếp đường tròn đường kính AH (1). Hay A, E, H nằm trên đường tròn đường kính AH(1). Xét ΔADH vuông tại D (gt)  ΔADH nội tiếp đường tròn đường kính AH Hay A, D, H nằm trên đường tròn đường kính AH(2). Từ (1) và (2) : A, E, H, D nằm trên đường tròn đường kính AH .  : tâm I là trung điểm AH.

d/.Chứng minh IE là tiếp tuyến của đường tròn (O). Xét Δ AEI, ta có : IA = IE (bán kính)  Δ AEI cân tại I   A1 = E1(2) Chưng minh tưng tự, ta được :  C1 =  E3(3)

DeThi.edu.vn

2

Từ (1), (2) và (3), ta được : E1 = E3; Mà: E1 +  E2 = 90º;  E3 +  E2=90º Hay : IEO = 90º  IE EO tại E; Mà : E thuộc (O)  Vậy : IE là tiếp tuyến của đường tròn (O).

BÀI 2 : Trên tiếp tuyến tại điểm A của đường tròn (O; R) lấy điểm M. Lấy điểm B trên đường tròn (O; R) sao cho MB = MA a/ Chứng minh : MB là tiếp tuyến của đường tròn (O; R). b/ Cho OM = 2R. chứng minh : tam giác ABC đều. tính độ dài và các cạnh và diện tích của tam giác AMB theo R. c/ Vẽ đường kính BE của (O). chứng minh : AE // OM.

GIẢI.

a/ Chứng minh MB là tiếp tuyến của đường tròn (O; R). Xét  AOM và BOM, có: MA = MB (gt); OA = OB (bán kính); OM cạnh chung.   AOM =  BOM  MBO = MAO; Mà:  MAO = 90º (MA tiếp tuyến của (O))  MBO = 90º Hay MB OB tại B. Mà : điểm B của đường tròn (O; R) Vậy : MB là tiếp tuyến của đường tròn (O; R)

b/ Chứng minh ABC đều & tính Diện tích  AMB Xét  AOM vuông tại A, ta có : sin OMA = OA : OM = ½  OMA =30º Mặt khác:  AMB + 2 OMA =60º (tính chất hai T.tuyến cắt nhau). Xét  ABM, ta có: MA = MB (gt)   ABM cân tại M; Mà :  AMB = 60º (cmt)   ABM đều. Xét  AOM vuông tại A, theo định lí pytago ta có : OM2 = MA2 + 0B2

 (2R)2 = MA2 + R2  MA = AB = R 3 Đường cao của  đều cạnh R 3 là h = 3/2R  Diện tích S  A BM = ½ h. AB = 3/4R. 3 (dvdt)

c/. chứng minh : AE // OM : Có :MA = MB (gt); OA = OB (bán kính)  MO là đường trung trực AB  OM AB (1) Xét  ABE nội tiếp (O), có : BE là đường kính  ABE vuông tại A  AE AB (2) Từ (1) và (2)  AE // OM.

DeThi.edu.vn