Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên Hùng Vương môn Toán (Dành cho thí sinh thi vào lớp Chuyên Toán) - Năm học 2016-2017 - Sở giáo dục và đào tạo Phú Thọ (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

PHÚ THỌ

KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN HÙNG VƯƠNG

NĂM HỌC 2016-2017

Môn thi: Toán (Dành cho thí sinh thi vào lớp Chuyên Toán) Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề.

Đề thi có 01 trang

Câu 1 (2,0 điểm)

a) Cho các số a, b thỏa mãn . Tính giá trị biểu thức

.

b) Cho các số nguyên dương x, y, z và biểu thức

.

Chứng minh rằng P là số nguyên chia hết cho 6.

Câu 2 (2,0 điểm)

a) Tìm các số nguyên thỏa mãn . b) Cho điểm phân biệt nằm trong một tam giác đều có cạnh bằng , trong đó không có điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng luôn tìm được một tam giác có đỉnh là

trong điểm đã cho mà có diện tích không lớn hơn

Câu 3 (2,0 điểm)

a) Giải phương trình .

b) Giải hệ phương trình

Câu 4 (3,0 điểm)

Cho đường tròn và dây cung cố định. Gọi là điểm di động trên cung lớn sao cho tam giác nhọn. Bên ngoài tam giác dựng các hình vuông , và hình bình hành . a) Chứng minh rằng và . b) cắt tại . Chứng minh rằng thẳng hàng. c) Chứng minh rằng khi thay đổi trên cung lớn của thì luôn thuộc một đường tròn cố định. Câu 5 (1,0 điểm)

Cho các số dương . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

.

…………..HẾT…………..

2 2 2 11 3 0, 2 , 2 a ab b b a b a      2 2 3 2 2 a b a b T a b a b      

2 2 3 2 2 3 2 2 3

2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 x y y z z x P x y z y z x z x y xyz            

,x y 3 2 2 2 2 2 10 x x y x xy x      19 3 3 3 3

19 3 . 4

2 1 3 2 x x   

3 2 2

2 2 2 6 0

3 1.

x x y x xy

x x y

          

( ; ) O R BC A BC ABC ABC ABDE ACFG AEKG AK BC  AK BC  DC BF M , , A K M A BC ( ; ) O R K

,x y

3 3 2 2 (2 )( 2 ) 8 4 3( ) (2 ) 1 1 ( 2 ) 1 1

x y x y P x y x y x y

          

ĐỀ CHÍNH THỨC

DeThi.edu.vn

2

Hướng dẫn Câu 1 a) Cho các số a, b thỏa mãn . Tính giá trị biểu thức

.

Ta có

Từ giả thiết suy ra , thay vào T ta được:

.

b) Ta có: Suy ra nếu thì Vì nên

Suy ra Trong ba số nguyên dương luôn có hai

số cùng tính chẵn lẻ, giả sử đó là . Vì nên .

Câu 2 a) Tìm các số nguyên thỏa mãn Ta có

Nhận xét: +) ; +) là số chẵn; là số lẻ;

+) .

Từ các nhận xét trên ta thấy chỉ có các trường hợp (TH) sau:

hoặc

TH1 . Phương trình không có nghiệm nguyên

2 2 2 11 3 0, 2 , 2 a ab b b a b a      2 2 3 2 2 a b a b T a b a b      

2 2

2 2 2 2 3 ( 2 )(2 ) (2 3 )(2 ) 6 11 2 2 (2 )(2 ) 4 a b a b a b a b a b a b a ab b T a b a b a b a b a b                  

2 2 11 2 3 ab a b   2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 6 11 6 2 3 2(4 ) 2 4 4 4 a ab b a a b b a b T a b a b a b              3 3 3 2 2 2 3 ( )( ) a b c abc a b c a b c ab bc ca            0 a b c    3 3 3 3 a b c abc    2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 0 x y y z z x      

2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 3( )( )( ) 3( )( )( )( )( )( ). TT x y y z z x x y y z z x x y y z z x x y y z z x                 

 

2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

( ) ( ) ( ) 2

( ) ( ) (2 )

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( )( ).

MT x y z y z x z x y xyz

x y y x z x y xyz y z x z

xy x y z x y z x y x y xy z zx zy

x y x y z z y z x y y z z x

      

      

          

        

3( )( )( ) TT P x y y z z x MT      ¢ , , x y z

, ( ) 2 x y x y   M 3( )( )( ) P x y y z z x     6 PM

,x y 3 2 2 2 2 2 10 (1). x x y x xy x     

 

2 2

2 2

2

(1) 2 ( ) 2 ( ) ( ) 10

2( )( ) ( ) 10

( ) 2( ) 1 10

x x y x x y x x

x y x x x x

x x x y

      

     

    

10 1.10 2.5 ( 1)( 10) ( 2)( 5)      

2 ( 1) x x x x    2( ) 1 x y  

2 2 2 1 1 1 0 2 4 x x x x x             

2 10 2( ) 1 1 x x x y

      

2 2 2( ) 1 5 x x x y

      

2 10 2( ) 1 1 x x x y

      

2 10 x x  

DeThi.edu.vn