Xem trước nội dung
1
Câu 1. (Hà Nội-TS10-2011-THPT Chuyên) Cho hình bình hành ABCD với 90 BAD . Đường phân giác của
góc BCD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD tại O khác C . Kẻ đường thẳng d đi qua A và vuông góc với CO . Đường thẳng d lần lượt cắt các đường thẳng ; CB CD tại ; E F .
1). Chứng minh rằng OBE ODC. 2). Chứng minh rằng O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF . 3). Gọi giao điểm của OC và BD là I , chứng minh rằng . . . . IB BE EI ID DF FI . Lời giải
1). Tứ giác OBCD nội tiếp và CO là phân giác góc BCD , suy ra OBD OCD OCB ODB , nên tam giác OBD cân tại O , do đó OB OD (1).
Tứ giác OBCD nội tiếp ODC OBE (cùng bù với góc OBC ) (2).
Trong tam giác CEF có CO vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên tam giác CEF cân tại C .
Do AB CF AEB AFC EAB, suy ra tam giác ABE cân tại B , nên BE BA CD (3).
2). Từ OBE ODC OE OC .
Mà CO là đường cao tam giác cân CEF , suy ra OE OF .
Từ đó OE OC OF , vậy O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF .
3). Theo trên, ta có BE CD mà CE CF BC DF .
Ta có CI là đường phân giác góc BCD , nên . . IB CB DF IB BE ID DF ID CD BE .
DeThi.edu.vn
2
Mà CO là trung trực EF và I CO , suy ra IE IF .
Từ hai đẳng thức trên, suy ra . . . . IB BE EI ID DF FI .
Câu 2. (Hà Nội-TS10-2012-THPT Chuyên) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O . Gọi M là một
điểm trên cung nhỏ BC ( M khác ; B C và AM không đi qua O ). Giả sử P là một điểm thuộc đoạn thẳng AM
sao cho đường tròn đường kính MP cắt cung nhỏ BC tại điểm N khác M .
1). Gọi D là điểm đối xứng với điểm M qua O . Chứng minh rằng ba điểm ; ; N P D thẳng hàng.
2). Đường tròn đường kính MP cắt MD tại điểm Q khác M . Chứng minh rằng P là tâm đường tròn nội tiếp tam
giác AQN .
Lời giải
1). Vì MP là đường kính suy ra PN MN (1).
Vì MD là đường kính suy ra DN MN (2).
Từ (1) và (2), suy ra ; ; N P D thẳng hàng.
2). Tứ giác APQD nội tiếp ( 0 90 PQD MAD ),
suy ra PAQ PDQ NDM (3).
Xét ( ) O , ta có NDM NAM (4).
Từ (3) và (4) PAQ NAP , suy ra AP là phân giác của góc NAQ (*).
Xét ( ) O , ta có AND AMD .
Xét đường tròn đường kính MP có QMP QNP ANP QNP , nên NP là phân giác của góc ANQ (**).
DeThi.edu.vn
3
Từ (*) và (**), suy ra P là tâm đường tròn nội tiếp tam giác . ANQ
Câu 3. (Hà Nội-TS10-2013-THPT Chuyên) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn ( ) O với . AB AC
Đường phân giác của góc BAC cắt ( ) O tại điểm D khác . A Gọi M là trung điểm của AD và E là điểm đối xứng với D qua tâm O . Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác ABM cắt đoạn thẳng AC tại điểm F khác . A
1). Chứng minh rằng tam giác BDM và tam giác BCF đồng dạng.
2). Chứng minh rằng EF vuông góc với . AC
Lời giải
1). Ta có góc nội tiếp bằng nhau (1) BDM BCF và BMA BFA suy ra 0 0 180 180 BMA BFA hay BMD BFC
(2). Từ (1) và (2) , suy ra BDM và BCF đồng dạng (g - g).
2). Từ AD là phân giác BAC suy ra DB DC vậy DE vuông góc với BC tại trung điểm N của BC .
Từ 1). BDM BCF ∽ , ta có DM BD CF BC .
Vậy ta có biến đổi sau 2 2 DA DM BD CD DE CF CF BC CN CE (3).
Ta lại có góc nội tiếp ADE FCE (4).
Từ (3) và (4) , suy ra EAD EFC ∽ suy ra 90 EFC EAD .
Vậy EF AC .
Câu 4. (Hà Nội-TS10-2014-THPT Chuyên) Cho tam giác ABC nhọn với AB BC và D là điểm thuộc cạnh
BC sao cho AD là phân giác của BAC. Đường thẳng qua C và song song với AD, cắt trung trực của AC tại E. Đường thẳng qua B song song với AD, cắt trung trực của AB tại F .
1). Chứng minh rằng tam giác ABF đồng dạng với tam giác ACE .
2). Chứng minh rằng các đường thẳng ; ; BE CF AD đồng quy tại một điểm, gọi điểm đó là G .
A
B C
O
D
M
F
E
N
DeThi.edu.vn
Trên đây là phần đầu tài liệu — bấm Đọc sách để xem đầy đủ.
