Lời giải ý 3 bài hình học đề thi vào Lớp 10 chuyên KHTN bằng kiến thức THCS - Năm học 2019-2020

Lời giải ý 3 bài hình thi vào 10 chuyên KHTN năm học 2019-2020 bằng kiến thức THCS.

Đề bài: Cho tam giác ABC cân tại A. Đường tròn nội tiếp (I). Các điểm E, F thứ tự trên các cạnh CA, AB sao cho EF tiếp xúc (I) tại P.Gọi K, L là hình chiếu vuông góc của E, F lên BC. EL giao FK tại J. Gọi H là hình chiếu của J trên BC và D là trung điểm BC. Chứng minh rằng:

1) HJ là tia phân giác của góc EHF. 2) SBFJL/SCEJK = BF2/CE2

3) P, J, D thẳng hàng

Giải:

a) FL/EK = FJ/JK = LH/HK => các tam giác FLH và EKH đồng dạng (c.g.c.) => LHF = KHE => 900 – LHF = 900 – KHE => JHE = JHF

b) Các tam giác BLF và CKE đồng dạng (g.g.); JLF và JEK đồng dạng (g.g.) => SBLF/SCKE = (BF/CE)2 = (LF/KE)2 = SJLF/SJKE = (SBLF + SJLF)/(SCKE + SJKE) = SBFJL/SCEJK => SBFJL/SCEJK = BF2/CE2

c) Trước hết ta chứng minh BE, CF, DP đồng qui

V

T

Q

E

F

C B

A

N

I

D

M

P

     

DeThi.edu.vn

Gọi các tiếp điểm trên AB, AC là M, N. Qua F kẻ các đường thẳng song song với BC cắt PD tại T; song song với BC cắt MN tại V. PD cắt CF tại Q, MN cắt CF tại Q’. Ta có FPT = BDT = FTP; FMV = ANV = FVM => các tam giác FPT, FMV cân tại F => FT = FP = FM = FV => FQ/QC = FT/CD = FP/CN = FV/CN = FQ’/Q’C => Q trùng Q’ hay MN, CF, PD đồng qui tại Q. Tương tự BE, PD, MN đồng qui tại Q => BE, CF, PD đồng qui tại Q.

Trở lại bài toán: Vì tam giác ABC cân tại A => A, I, D thẳng hàng.

Áp dụng định lí Menelauyt cho tam giác ACF với bộ 3 điểm B, Q, E ta được

FQ/QC.EC/EA.BA/BF = 1 => FQ/QC = EA/EC.BF/BA

=> FT/DK = FT/DC.DC/DK = FQ/QC.AC/AE = EA/EC.BF/BA.AC/AE = EA/AE.AC/BA.BF/CE = BF/CE = LF/EK = FJ/JK => T, J, D thẳng hàng.

T

Q

H

J

K L

E

F

C B

A

N

I

D

M

P

     

DeThi.edu.vn