Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 THPT chuyên môn Toán (Dùng cho thí sinh vào lớp chuyên Toán, chuyên Tin) - Năm học 2018-2019 (Có đáp án)

SỞ GD&ĐT KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2018 – 2019 MÔN THI: TOÁN Dùng cho thí sinh vào lớp chuyên Toán, chuyên Tin Thời gian làm bài: 150 phút ( không kể thời gian giao đề bài ) Câu 1 ( 3,0 điểm ).

1. a) Giải phương trình sau: .

b) Giải phương trình: .

c) Cho Giải phương trình: f(f(f(f(x)))) = 65539 .

2) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: x2 + 4x + 1 = y4 .

Câu 2 ( 2,0 điểm ).

a) Cho A = a + b + c + m + n + p, B = ab + bc + ca – mn – np – pm và C = abc + mnp. Biết a, b, c,

m, n, p là các số nguyên dương và cả B, C đều chia hết cho A. Chứng minh A là hợp số .

b) Cho x, y là các số hữu tỉ thỏa mãn đẳng thức: . Chứng minh: là một số

hữu tỉ.

c) Cho hai số a và b thỏa mãn a > 0, b > 0 . Xét tập hợp T các số có dạng: T = { ax + by }, trong đó x và

y là các số thỏa mãn x,y > 0 và x + y = 1. Chứng minh rằng các số: và đều thuộc tập hợp T .

Câu 3 ( 1,0 điểm ). Cho x, y, z là các số thực thuộc đoạn [ 0 ;4 ]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

.

Câu 4 ( 3,0 điểm ). Cho tam giác ABC nhọn ( AB < AC ). M, N nằm trên cạnh BC sao cho M nằm giữa N và

B. Lấy các điểm P, Q trên AM, AN sao cho BP, CQ cùng vuông góc với BC. Gọi K, J lần lượt là tâm đường

tròn ngoại tiếp tam giác APQ, AMN và L là hình chiếu của K trên AJ. E là trực tâm tam giác AMN, S là hình

chiếu của E trên MN và F là trung điểm của MN.

1. Tính AE theo MJ và MN.

2. a) Gọi R là hình chiếu của Q trên đoạn thẳng BP và D là giao điểm của hai đường thẳng QR và AP,

kẻ đường kính AT của đường tròn ( K ). Chứng minh rằng: AL. CQ + QR . KL = AL . BP và MS.MB.PD2 =

MA.MP.RD2.

b) Chứng minh rằng: RD.PM.AL + NC.AL.PD = JL.BC. PD.

Câu 5: ( 1,0 điểm ). Cho a1, a2, …., an ( n 3) là các số thực. Chứng minh rằng: Khi đó ai, aj, ak là độ dài ba

cạnh của một tam giác, trong đó i, j, k là các số tự nhiên thỏa mãn điều kiện 0 < i < j < k n. Biết rằng n số

thực trên là các số thỏa mãn: .

HẾT

Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Họ và tên thí sinh:………………………………………….Số báo danh:……………………………………... Giám thị số 1:………………………………………………Giám thị số 2:…………………………………….

2 2 2x 5x 3 2x 5x 7 5      

2 2 2 2 2 3(x 2x 1) 2(x 3x 1) 5x 0       

2 f(x) x 6x 12.   

2

2 2 xy 1 x y 2 x y           

1 xy 

2ab a b  ab

P xy(x y) yz(y z) zx(z x)      





2 2 2 2 1 2 n 1 2 n 3n 1 (a a ....a ) (a + a + .... + a ) 3

   

ĐỀ CHÍNH THỨC

DeThi.edu.vn

SỞ GD&ĐT KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2018 – 2019 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN ( Hướng dẫn chấm có 07 trang ) Dùng cho thí sinh vào lớp chuyên Toán, chuyên Tin

A. LƯU Ý CHUNG

- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác

nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa.

- Điểm toàn bài tính đến 0.25 và không làm tròn.

- Với bài hình học nếu học sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó.

B. ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM

1

Khi đó: (x – 3)16 + 3 = 65539 .

Kết luận: Vậy phương trình có tập nghiệm S = {5; 1}.

c. Giải phương trình: .

Do x = 0 không là nghiệm của phương trình, chia hai vế của phương trình ban đầu

cho x2 ta được . Đặt y = thì phương

trình trở thành:

---------------------------------------------------------------------------------------------------

Suy ra :

Kết luận: Vậy tập nghiệm của phương trình là: S = .

Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: x2 + 4x + 1 = y4 .

0.25

0.25

16 16 (x 3) 65536 2     x 3 2 x 3 2

    

x 5

x 1

  

2 2 2 2 2 3(x 2x 1) 2(x 3x 1) 5x 0       

2 2 1 1 3 x 2 2 x 3 5 0 x x                   

1 x x 

2 2 2 y 1 3(y 2) 2(y 3) 5 0 y 1 0 . y 1

         

1 1 5 x 1 x x 2 . 1 1 5 x 1 x x 2

                   

1 5 1 5 ; 2 2

           

Câu Ý Lời giải Điểm

1 1 a. Giải phương trình: 2 2 2x 5x 3 2x 5x 7 5       . ĐKXĐ: x 1 hoặc 7 x 2  

Đặt 2 2x 5x 2 a ( a 0 )     , phương trình trở thành:

2 2 a 5 a 5 5   …