Lời giải đề thi vào Lớp 10 môn Toán (Đề chung) năm 2019 tỉnh Phú Thọ

LỜI GIẢI ĐỀTOÁN CHUNG LỚP 10/2019 TỈNH PHÚ THỌ

- Tập thểlớp chuyên Toán khóa 36 -

6th June 2019

1 Đềthi

1.1 Trắc nghiệm

1.2 Tựluận

Bài 1 (1,5 điểm). Lớp 9A và lớp 9B của một trường THCS dựđịnh làm 90 chiếc đèn ông sao đểtặng các em thiếu nhi nhân dịp Tết Trung Thu. Nếu lớp 9A làm trong 2 ngày và lớp 9B làm trong 1 ngày thì được 23 chiếc đèn; nếu lớp 9A làm trong 1 ngày và lớp 9B làm trong 2 ngày thì được 22 chiếc đèn. Biết rằng sốđèn từng lớp làm được trong mỗi ngày là như nhau, hỏi nếu cảhai lớp cùng làm thì hết bao nhiêu ngày đểhoàn thành công việc đã dựđịnh? Bài 2 (2,0 điểm). Cho phương trình x2 −mx −3 = 0 (m là tham số).

a) Giải phương trình với m = 2. b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trịcủa m. c) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để(x1 + 6)(x2 + 6) = 2019. Bài 3 (3,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AD (D ∈BC). Gọi I là trung điểm của AC; kẻAH vuông góc với BI tại H.

a) Chứng minh tứgiác ABDH nội tiếp. Tìm tâm đường tròn ngoại tiếp tứgiác ABDH. b) Chứng minh tam giác BDH đồng dạng tam giác BIC.

c) Chứng minh AB · HD = AH · BD = 1

2 · AD · AH.

Bài 4 (1,0 điểm). Giải hệphương trình sau    

  

x2

x + 1 + y2

y −1 = 4

x + 2 x + 1 + y −2

y −1 = y −x

1 DeThi.edu.vn

2 Lời giải

2.1 Trắc nghiệm

Câu 1. D Câu 2. C Câu 3. B Câu 4. A Câu 5. C Câu 6. A Câu 7. B Câu 8. D Câu 9. C Câu 10. A

2.2 Tựluận

Bài 1 (1,5 điểm). Lớp 9A và lớp 9B của một trường THCS dựđịnh làm 90 chiếc đèn ông sao đểtặng các em thiếu nhi nhân dịp Tết Trung Thu. Nếu lớp 9A làm trong 2 ngày và lớp 9B làm trong 1 ngày thì được 23 chiếc đèn; nếu lớp 9A làm trong 1 ngày và lớp 9B làm trong 2 ngày thì được 22 chiếc đèn. Biết rằng sốđèn từng lớp làm được trong mỗi ngày là như nhau, hỏi nếu cảhai lớp cùng làm thì hết bao nhiêu ngày đểhoàn thành công việc đã dựđịnh?

Lời giải. Ta gọi sốđèn lớp 9A và 9B làm được trong một ngày lần lượt là a và b (chiếc đèn). Từgiảthiết bài toán ta có hệphương trình ( 2a + b = 23 2b + a = 22

Giải hệnày ta được a = 8, b = 7. Do đó, sốđèn mà cảhai lớp làm được trong 1 ngày là 7 + 8 = 15 (chiếc đèn). Vậy sốngày cần thiết đểcảhai lớp làm xong công việc là 90 : 15 = 6 (ngày).

Bài 2 (2,0 điểm). Cho phương trình x2 −mx −3 = 0 (m là tham số).

a) Giải phương trình với m = 2. b) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trịcủa m. c) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để(x1 + 6)(x2 + 6) = 2019.

Lời giải. a) Với m = 2 ta có phương trình

x2 −2x −3 = 0 ⇔(x −3)(x + 1) = 0.

Từđó phương trình có hai nghiệm x = 3 hoặc x = −1.

b) Phương trình ban đầu là phương trình bậc hai ẩn x. Khi đó phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉkhi ∆> 0. Thật vậy, ta có ∆x = (−m)2 −4 · (−3) = m2 + 12 > 0, ∀m ∈R.

c) Theo định lý Vi-ét cho phương trình ban đầu thì ta thu được x1+x2 = m và x1·x2 = −3. Theo giảthiết ta có

(x1 + 6)(x2 + 6) = 2019 ⇔x1x2 + 6(x1 + x2) + 36 = 2019 ⇔−3 + 6m + 36 = 2019.

Từđó m = 331. Thửlại ta thấy thỏa mãn. Vậy kết thúc phép chứng minh.

2 DeThi.edu.vn