Đề thi tuyển sinh vào Lớp 10 chuyên môn Toán - Năm học 2020-2021 (Có đáp án)

1

MÃ KÍ HIỆU …………………………..

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN

Năm học 2020-2021

MÔN:Toán. Thời gian làm bài:150 phút ( Đề thi gồm 05 câu, 01 trang)

Câu 1 (2,0 điểm).Cho biểu thức

1. Tìm điều kiện của x để M có nghĩa và rút gọn M. 2. Tìm x để M = 5. 3. Tìm để Câu 2 (2,0 điểm).

1.Giải phương trình: .

2.Giải hệ phương trình:

Câu 3 (2,0 điểm). 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình : 2. Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 4(3,0 điểm).

1. Cho đường tròn (O), có đường kính AB cố định, điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = AO.

Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I, gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E. a. Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp . b.Chứng minh hệ thức: AM2 = AE.AC. c. Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất. Câu 5 (1,0điểm). Trong bảng ô vuông ta đặt các số tự nhiên từ 1 đến 121 vào các ô đó một cách tùy ý (mỗi ô đặt duy nhất một số và hai ô khác nhau thì đặt hai số khác nhau). Chứng minh rằng tồn tại hai ô vuông kề nhau (tức là hai ô vuông có chung một cạnh) sao cho hiệu của hai số đặt trong hai ô đó lớn hơn 5.

...................................Hết.............................

2 3

2 x -9 2 x 1 x 3 M

x -5 x 6 x -3 2- x      

x Z  M Z. 

2 2 3 6 2 6 2 7 2 x x x x x      

 

 

 

2

2

2

2 1

2 1

2 1

x y x

y z y

z x z

       

  

2 2 2 2 3 2 1 0 x y x y x    

      2 2 2 1 1 1 1 P xy yz xz x y z

11 11 

DeThi.edu.vn

2

MÃ KÍ HIỆU ………………………

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 CHUYÊN

Năm học 2020-2021

MÔN: Toán. (Hướng dẫn chấm này gồm 04 trang)

Câu Đáp án Điểm 1. (1,0 điểm) Điều kiện:

0,25

0,25

0,25

0,25

2. (0,5 điểm)

0,25

0,25 3.(0,5 điểm)

0,25

Câu 1

(2,0 điểm)

Để thì là ước của 4, suy ra ... nhận các giá trị Suy ra , do nên 0,25

1.(1 điểm)

Phương trình xác định khi 0,25

0,25

0,25

. Vậy phương trình có nghiệm . 0,25 2.(1 điểm)

Câu 2

(2,0 điểm)

Hệ phương trình xác định với mọi Dẽ thấy là một nghiệm của hệ phương trình . Vì vậy ta tìm nghiệm

Từ hệ đã cho ta có

0,25

x 0; x 4; x 9.   

2 x 9 2 x 1 x 3 M

x 5 x 6 x 3 2 x          

2 x 9 ( x 3)( x 3) (2 x 1)( x 2) M

( x 2)( x 3)       

 

x x 2 ( x 2)( x 3)   

 

( x 1)( x 2) ( x 2)( x 3)   

 

x 1. x 3  



x 1 M 5 5 x 3     

x 1 5( x 3)   

x 1 5 x 15    4 x 16 x 4 x 16.      

x 1 x 3 4 4 M 1 x 3 x 3 x 3         M Z  x 3  4; 2; 1; 1; 2; 4      x 1; 4; 16; 25; 49  x 4    x 1; 16; 25; 49 . 

2 6 7 x   

   

2 2 2 2 3 6 2 6 2 7 2 2 6 7 2 2 0 x x x x x x x x             

2 6 0

7 2 2 0

x

x x

    

   

2 x   2 x 

, , x y z

(0;0;0) 0; 0; 0 x y z   

0 0 0 x y z     

DeThi.edu.vn

3

Hệ phương trình đã cho được viết lại thành

Nhận xét: + Nếu là nghiệm của hệ thì cùng dấu

+ Với mọi số thực ta luôn có . Nên nếu là nghiệm của

hệ phương trình đã cho thì

0,25

Nhân vế theo vế các phương trình trong hệ ban đầu ta được

Vì nên

Do đó

0,25

Do cùng dấu nên ta có hoặc (thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình có ba nghiệm

0,25

1.(1 điểm)

Với y=0 thì x= 1 là 1 nghiệm của pt Với y khác 0. Vì và là các số chính phương nên cũng là số chính phương

0,25

Do đó đặt

Ta có là ước số của 3 và không âm nên cũng không âm

0,25

Suy ra hoặc . 0,25

Vậy phương trình có nghiệm 0,25

2.(1 điểm)

Học sinh chứng minh bất đẳng thức: (với A, B, C > 0)

 với x, y, z > 0 ta có:



0,25

 0,25

Câu 3(2 điểm)

0,25

2

2

2

2 1

2 1

2 1

x y x y z y z x z

         

  

  ; ; x y z , , x y z

a 2 2 1 1 1

a

a      ; ; x y z

1 ; ; 1 x y z  

        2 2 2 2 2 2 1 1 1 8 1 1 1 8 xyz x y z xyz x y z         

1 ; ; 1 x y z       2 2 2 1 1 1 8 x y z    

    2 2 2 2 2 2 1 1 1 8 1 x y z x y z        

, , x y z 1 x y z    1 x y z   

    …